Потенціал Пешль — Теллера

Потенціа́л Пешль — Теллера (англ. Pöschl–Teller potential) — це спеціальний вид потенціалів в математичній, квантовій, та молекулярній фізиці, для яких існують точні розв'язки одномірного рівняння Шредінгера у вигляді спеціальних функцій. Потенціал названий на честь угорських фізиків Герти Пешль (Herta Pöschl) та Едварда Теллера (Edward Teller).

Визначення

Потенціал Пешль-Теллера задається у вигляді

$U(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)$

При підстановці потенціалу в одновимірне рівняння Шредінгера

$-{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+U(x)\psi (x)=E\psi (x)$

за допомогою підстановки $u=\mathrm {tanh(x)}$ отримують

$\left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0$.

Розв'язком для зв'язаних станів $\psi (\mathrm {tanh(x)} )$ будуть функції Лежандра $P_{\lambda }^{\mu }(\mathrm {tanh(x)} )$, та значення енергії $E_{\lambda ,\mu }={\frac {-\mu ^{2}}{2}}$, де $\lambda =1,2,3,\ldots \,,\mu =\lambda ,\lambda -1,\ldots ,1$. Більш того, можна точно обчислити і розсіювання частинки на такому потенціалі, тоді для енергій частинки $E_{\lambda ,k}=-{\frac {k^{2}}{2}}$ отримаємо аналітичні вирази для хвильових функцій. В тривіальному випадку для $\lambda =0$ отримуємо плоску хвилю $\psi _{0,k}^{+}=\exp(ikx)$.

Два наступні вирази для $\lambda =1,2$ запишуться як

$\psi _{1,k}^{+}=\left(1+{\frac {i}{k}}\tanh(x)\right)\exp(ikx)$.

$\psi _{2,k}^{+}=\left(1+k^{2}\right)^{-1}\left(1+k^{2}+3ik\tanh(x)-3\tanh ^{2}(x)\right)\exp(ikx)$.

Це відображає хвилі, що поширюються зліва направо. Дуже цікавою особливістю потенціалів Пешль-Теллера є те, що для цілих значень $\lambda$ хвильові функції не розсіюються на потенціальному бар'єрі, тобто ці потенціали в таких випадках є на 100 % прозорими: коефіцієнт проникнення $T=1$, a відбиття $R=0$.

Див. також

Потенціал Морзе

Література

• G. Pöschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des Anharmonischen Oszillators // Zeitschrift für Physik. — 1933. — Bd. 83, Nr. 3-4. — S. 143–151. — DOI:10.1007/BF01331132.