Рівняння Лапласа

Рівня́ння Лапла́са — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.

$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$.

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Інші форми запису рівняння Лапласа

В сферичних координатах :

${1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0$

Застосування у фізиці

• Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів.
• Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.

Див. також

• Оператор Лапласа
• Градієнт