Рівняння Лапласа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівня́ння Лапла́са — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.

 \Delta u = \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 .

Функції, які задовольняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Інші форми запису рівняння Лапласа[ред.ред. код]

В циліндричних координатах:

\Delta f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} =0.

У сферичних координатах:

{1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0.

Застосування у фізиці[ред.ред. код]

  • Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів.
  • Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.
  • Рівнянню Лапласа задовольняє потенціал гравітаційних хвиль на поверхні рідини.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]