Диференціювання складної функції

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці $x_0$, а функція g має похідну в точці $y_0 = f(x_0)$, тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці $x_0$.

Одновимірний випадок

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, $f:U(x_0) \to V(y_0),$ где $y_0 = f(x_0),$ і $g:V(y_0) \to \R$ Нехай також ці функії диференційовані: $f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тоді їх композиція також диференційованіа: $h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0),$ і її похідна має вигляд:

$h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).$

Зауваження

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції $y = y(x),$ де $x = x(t),$ набуває такого вигляду:

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.$

Інваріантність форми першого диференціала

Диференціал функції $z = g(y)$ в точці $y_0$ має вигляд:

$dz = g'(y_0) \, dy,$

де $dy$ — диференціал тотожного відображення $y \to y$:

$dy(h) = h,\quad h \in \R.$

Нехай тепер $y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0).$ Тоді $dy = f'(x_0)\, dx$, і згідно з ланцюговомим правилом:

$dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.$

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад

Нехай $h(x) = (3x^2 - 5x)^7.$ Тоді функція $h$ може бути записана у вигляді композиції $h = g \circ f ,$ де

$f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7.$

Диференціюємо ці функції окремо:

$f'(x) = 6x - 5,\; g'(y) = 7y^6,$

отримуємо

$h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).$

Багатовимірний випадок

Нехай дані функції $f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n,$ где $y_0 = f(x_0),$ і $g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p.$ Нехай також ці функції диференційовані: $f\in \mathcal{D}(x_0)$ и $g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

$dh(x_0) = dg(y_0) * df(x_0).$

Зокрема, матриця Якобі функції $h$ є добутком матриць Якобі функцій $g$ і $f:$

$\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.$

Наслідки

• Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:

  $\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.$

Для часткових похідних складної функції справедливо

• $\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.$