Диференціювання складної функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці x_0, а функція g має похідну в точці y_0 = f(x_0), тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці x_0.

Одновимірний випадок[ред.ред. код]

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, f:U(x_0) \to V(y_0), где y_0 = f(x_0), і g:V(y_0) \to \R Нехай також ці функії диференційовані: f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0). Тоді їх композиція також диференційованіа: h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), і її похідна має вигляд:

 h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).

Зауваження[ред.ред. код]

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції y = y(x), де x = x(t), набуває такого вигляду:

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.

Інваріантність форми першого диференціала[ред.ред. код]

Диференціал функції z = g(y) в точці y_0 має вигляд:

dz = g'(y_0) \, dy,

де dy — диференціал тотожного відображення y \to y:

dy(h) = h,\quad h \in \R.

Нехай тепер y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0). Тоді dy = f'(x_0)\, dx, і згідно з ланцюговомим правилом:

dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай h(x) = (3x^2 - 5x)^7. Тоді функція h може бути записана у вигляді композиції h = g \circ f , де

f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7.

Диференціюємо ці функції окремо:

f'(x) = 6x - 5,\; g'(y) = 7y^6,

отримуємо

h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).

Багатовимірний випадок[ред.ред. код]

Нехай дані функції f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n, где y_0 = f(x_0), і g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p. Нехай також ці функції диференційовані: f\in \mathcal{D}(x_0) и g \in \mathcal{D}(y_0). Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

dh(x_0) = dg(y_0) * df(x_0).

Зокрема, матриця Якобі функції h є добутком матриць Якобі функцій g і f:

\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.

Наслідки[ред.ред. код]

  • Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
    \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.

Для часткових похідних складної функції справедливо

  • \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.