Сигма-скінченна міра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сигма-скінченна міра в функціональному аналізіміра, така що довільна вимірна множина може бути представлена у вигляді зліченного об'єднання вимірних множин скінченної міри.

Визначення[ред.ред. код]

Неай (X,\mathcal{R},\mu) - простір з мірою, де X — деяка множина, \mathcal{R} — задане на ній кільце підмножин, \mu — міра визначена на кільці. Міра \mu називається σ-скінченною, якщо для довільної множини A \in \mathcal{R} існує зліченна сім'я вимірних множин \{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}, така що \mu(A_i) < \infty,\; i\in \mathbb{N} і

A = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i. Якщо міра визначена на деякій алгебрі \mathcal{F} підмножин множини X, то необхідною і достатньою умовою σ-скінченності є виконання поданих вище умов для єдиної множини X

Приклади[ред.ред. код]

  • Будь-яка скінченна, зокрема ймовірнісна міра скінченна.
\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i])= 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots.
  • Зліченна міра \mu на \mathbb{R}, тобто така, що \mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R} не є σ-скінченною, оскільки зліченне об'єднання будь-яких множин скінченної міри в цьому випадку буде зліченним, тоді як весь простір незліченний.

Властивості[ред.ред. код]

σ-скінченні міри мають багато властивостей не характерних для інших видів мір, тому вони часто виступають припущеннями при формулюванні теорем теорії мри та інтегралу, зокрема теореми Радона-Нікодима, теореми Фубіні та ін. σ-скінченність також є достатньою умовою єдиності продовження міри заданої на кільці до міри на породженому цим кільцем σ-кільці (теорема Каратеодорі).

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953