Зліченна множина

Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Множина, яка не є зліченною, називається незліченною. Таким чином, будь-яка множина є або скінченною, або зліченною, або незліченною.

Формально: множина X є зліченною, якщо існує бієкція f:X→N, де N - множина натуральних чисел. Тобто зліченна множина - це множина, рівнопотужна множині натуральних чисел.

Зліченна множина є найменшою нескінченною множиною в тому розумінні, що в будь-якій нескінченній множини знайдеться зліченна підмножина.

Властивості

1. Будь-яка підмножина зліченної множини або зліченна, або скінченна.
2. Об'єднання скінченної або зліченної кількості зліченних множин є зліченним.
3. Декартів добуток скінченної кількості зліченних множин є зліченним.
4. Множина всіх скінченних підмножин зліченної множини є зліченною.
5. Якщо множина A нескінченна, а множина B скінченна або зліченна, то A∪B - рівнопотужна A.
6. За теоремою Кантора, потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її булеану (множини всіх її підмножин). Звідси випливає, що булеан множини натуральних чисел є незліченною множиною.

Приклади

Зліченні множини

• Прості числа
• Натуральні числа
• Цілі числа
• Раціональні числа
• Алгебричні числа
• Кільце періодів
• Рекурсивні числа
• Арифметичні числа
• Множина всіх скінчених слів над скінченим чи зліченним алфавітом
• Довільне нескінченне сімейство неперетинних відкритих інтервалів на дійсній вісі
• Множина всіх прямих на площині, кожна з яких містить принаймні 2 точки з раціональними координатами
• Довільна нескінченна множина точок на площині, всі попарні відстані між елементами якої раціональні

Незліченні множини

• Дійсні числа
• Комплексні числа
• Числа Келі

Див. також

• Незліченна множина
• Континуум
• Скінченна множина

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. (1970). Теория множеств. Москва: Мир. с. 416. 
• Хаусдорф Ф. (1937). Теория множеств. Москва, Ленинград: ОНТИ. с. 304. ISBN 978-5-382-00127-2.