Функціональний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функціона́льний ана́ліз  — математична дисципліна, яка фактично є поширенням лінійної алгебри на нескінченновимірні простори. З другого боку, характер питань, які при цьому розглядаються, дозволяє вважати цю науку частиною математичного аналізу. Предметом досліджень у функціональному аналізі є функціонали й оператори.

Загальна інформація[ред.ред. код]

Функціональний аналіз як самостійна дисципліна розвивався на межі 19 і 20 століття й остаточно сформувався у 20-30 рр. 20 століття. З одного боку, він розвинувся під впливом дослідження конкретних класів лінійних операторів — інтегральних операторів і пов'язаних з ними інтегральних рівнянь, з другого боку — під впливом чисто внутрішнього розвитку сучасної математики з її бажанням узагальнити і тим самим пізнати істинну природу тих чи інших закономірностей. Величезний вплив на розвиток функціонального аналізу мала квантова механіка, оскільки в ній вимірюваним фізичним величинам відповідають лінійні оператори над простором станів фізичної системи.

Поняття простору[ред.ред. код]

Найзагальнішими просторами, що фігурують в функціональному аналізі є топологічні векторні простори. Так називається векторний (лінійний) простір над полем комплексних чисел(або дійсних). На просторі може бути введена метрика — дійсна функція від двох аргументів, що належать цьому простору, результатом якої є «відстань» між цими елементами. Слово відстань використане тут в непрямому розумінні. Простір з метрикою називається метричним простором. Також відрізняють простори, на яких аксіоматично визначена норма елементу — «довжина» вектору x, ||x||. На нормованому просторі завжди можна ввести метрику у вигляді f(x, y)=||x-y||. Також у просторі можна визначити операцію скалярного добутку яку геометрично можна інтерпретувати як кут між елементами. Простори зі скалярним добутком називаються унітарними. Скалярний добуток породжує норму в просторі таким чином: ||x||2=(x, x). Простір який є повним відносно норми породженої скалярним добутком цього простору називається гільбертовим простором.

«Вимірність» простору — максимальна кількість лінійно-незалежних елементів у цьому просторі. Безмежновимірний простір це простір, у якому для будь-якого натурального числа n існує n лінійно-незалежних елементів.

Функціонал[ред.ред. код]

Функціонал — це відображення, що ставить у відповідність кожному елементу даного простору елемент з простору дійсних або комплексних чисел. Важливу роль в функціональному аналізі відіграють поняття неперервних функціоналів і лінійних функціоналів. Простір всіх лінійних обмежених і всюди визначених на просторі Х функціоналів називається спряженим до Х і позначається Х' або Х*.

Оператор[ред.ред. код]

Оператор — відображення, що ставить у відповідність елемент одного простору елементу з іншого. L(X,Y) — простір всіх лінійних, неперервних, всюди визначених в Х операторів. Переважно розглядаються випадки коли X i Y — нормовані або гільбертові простори. Оператор називається спряженим до оператора А і позначається А* якщо (А х, y)=(x,A* y). Дуже важливим є клас самоспряжених операторів — (A x, y)=(x,A y).

Література[ред.ред. код]

  • Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К.: Радянська школа, 1948. — 216 с.
  • Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ: Курс лекций. — К.: Вища школа, 1990. — 600 с.
  • Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Наука, 1967. — 416 с.
  • Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 с.
  • Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1988. — 400 с.
  • Коломогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
  • Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 588 с.
  • Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 448 с.
  • Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — 552 с.
  • Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения. — М.: Мир, 1969. — 1070 с.

Див. також[ред.ред. код]

Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналізРекреаційна математика