Функціональний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Математична дисципліна, яка фактично є поширенням лінійної алгебри на нескінченновимірні простори. З іншого боку, характер питань, які при цьому розглядаються, дозволяє вважати цю науку частиною математичного аналізу. Предметом досліджень в функціональному аналізі є функціонали і оператори.

Функціональний аналіз як самостійна дисципліна розвивався на межі 19 і 20 століття і остаточно сформувався у 20-30 рр. 20 століття. З одного боку він розвинувся під впливом дослідження конкретних класів лінійних операторів — інтегральних операторів та зв`язаних з ними інтегральних рівнянь, з іншого боку — під впливом чисто внутрішнього розвитку сучасної математики з її бажанням узагальнити і тим самим пізнати істинну природу тих чи інших закономірностей. Величезний вплив на розвиток функціонального аналізу мала квантова механіка, оскільки в ній фізичним величинам, що вимірюються, відповідають лінійні оператори над простором станів фізичної системи.

1. Поняття простору. Найзагальнішими просторами, що фігурують в функціональному аналізі є топологічні векторні простори. Так називається векторний (лінійний) простір над полем комплексних чисел(або дійсних). На просторі може бути введена метрика — дійсна функція від двох аргументів, що належать цьому простору, результатом якої є «відстань» між цими елементами. Слово відстань використане тут в непрямому розумінні. Простір з метрикою називається метричним простором. Також відрізняють простори, на яких аксіоматично визначена норма елементу — «довжина» вектору x, ||x||. На нормованому просторі завжди можна ввести метрику у вигляді f(x, y)=||x-y||. Також у просторі можна визначити операцію скалярного добутку яку геометрично можна інтерпретувати як кут між елементами. Простори зі скалярним добутком називаються унітарними. Скалярний добуток породжує норму в просторі наступним чином: ||x||²=(x, x). Простір який є повним відносно норми породженої скалярним добутком цього простору називається гільбертовим простором.

«Вимірність» простору — максимальна кількість лінійно-незалежних елементів у цьому просторі. Безмежновимірний простір це простір, у якому для будь-якого натурального числа n існує n лінійно-незалежних елементів.

2. Функціонал — це відображення, що ставить у відповідність кожному елементу даного простору елемент з простору дійсних або комплексних чисел. Важливу роль в функціональному аналізі відіграють поняття неперервних функціоналів і лінійних функціоналів. Простір всіх лінійних обмежених і всюди визначених на просторі Х функціоналів називається спряженим до Х і позначається Х' або Х*.

3. Оператор — відображення, що ставить у відповідність елемент одного простору елементу з іншого. L(X,Y) — простір всіх лінійних, неперервних, всюди визначених в Х операторів. Переважно розглядаються випадки коли X i Y — нормовані або гільбертові простори. Оператор називається спряженим до оператора А і позначається А* якщо (А х, y)=(x,A* y). Дуже важливим є клас самоспряжених операторів — (A x, y)=(x,A y).