Стична площина

Репер Френе-Серрі для кривої в просторі і стична площина натягнута на вектори T і N.

У математиці, особливо в диференціальній геометрії, стична площина (англ. osculating plane) є площиною в евклідовому або в афінному просторі, яка стикається з підмноговидом у точці таким чином, щоб був дотик другого порядку в цій точці.

Дотична площина в евклідовому просторі може бути описана в термінах формул Френе-Серрі як лінійна оболонка дотичного і нормального векторів.

Стична площина кривої

У евклідовому просторі, площина π називається стичною площиною кривої в точці P, якщо

$\lim _{Q\to P}{\frac {h}{d^{2}}}=0,$

де Q — точка на кривій, d — відстань від точки Q до площини π.

Відомо, що у кожній точці C²-регулярної кривої існує стична площина. Якщо для радіус-вектора $r$ кривої, вектори $r'$ і $r''$ в точці P не колінеарні, то стична площина єдина. В іншому випадку, будь-яка площина, що проходить через дотичну в точці P, є стичною в цій точці.

Нехай крива задається радіус-вектором $r(t)$. Точці P відповідає значення параметру $t=t_{0}$. Тоді вектором нормалі стичної площини в точці P буде вектор $r'(t_{0})\times r''(t_{0})$, а рівняння стичної площини буде

$\langle R-r(t_{0}),r'(t_{0})\times r''(t_{0})\rangle =0$

або

$\left(R-r(t_{0}),r'(t_{0}),r''(t_{0})\right)=0.$

В координатному вигляді рівняння стичної площини до кривої, заданої параметричним рівнянням $r(t)=(x(t),y(t),z(t))$, у точці $(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))$ має вигляд:

${\begin{vmatrix}X-x(t_{0})&Y-y(t_{0})&Z-z(t_{0})\\x'(t_{0})&y'(t_{0})&z'(t_{0})\\x''(t_{0})&y''(t_{0})&z''(t_{0})\end{vmatrix}}=0$

Див. також

• Стичне коло

Джерела

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)