Тензор механічних напружень

Компоненти тензора механічних напружень. Сили позначені T.

Те́нзор механі́чних напру́жень або просто тензор напружень — тензор другого рангу, яким описуються сили, що виникають в твердому тілі при деформації.

Позначається здебільшого грецькою літерою σ, має розмірність тиску, тобто вимірюється в Паскалях.

Тензор механічних напружень визначається таким чином, щоб

$F_i = \sum_k \frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}$.

де $\mathbf{F}$ — вектор сили, яка діє на одиницю об'єму речовини.

Властивості

Тензор механічних напружень симетричний відносно індексів i та k.

Напруження стиску-розтягу і зсуву

Тензор механічних напружень часто записують у вигляді

$\hat{\sigma} = \left( \begin{matrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{matrix} \right)$

Діагональні елементи матриці позначаються $\sigma$ і назвиваються напруженнями стиску-розтягу, а недіагональні елементи позначаються $\tau$ і називаються напруженнями зсуву.

Рівняння рівноваги

У стані механічної рівноваги прикладена зовні сила діє лише на поверхню тіла. Всередині тіла кожен об'єм діє на сусідній з такою ж силою, що й сусідній діє на нього самого (третій закон Ньютона). В такому випадку справедливе рівняння рівноваги, що визначає деформацію тіла

$F_i = \sum_k \frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k} = 0$.

У випадку, коли на тіло діють так звані об'ємні сили, наприклад сили тяжіння, рівняння рівноваги набирає вигляду

$\sum_k \frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k} = \rho g_i$.

де ρ — густина речовини, а g_i — компоненти об'ємних сил в розрахунку на одиницю об'єму.

Ці рівняння потрібно розв'язувати разом із граничними умовами.

Наприклад, якщо розтягувати довгий однорідний стрижень перерізом S, прикладаючи до його кінця силу F, то тензор механічних напружень матиме лише одну відмінну від нуля компоненту $\sigma_{xx}$ (вважаємо, що вісь x направлена вздовж стержня). Із граничних умов находимо $\sigma_{xx} = F/S$.

Див. також

• Тензор деформації
• Закон Гука
• Тензор модулів пружності