Теорія пластин Міндліна-Рейснера

Деформація пластини, яка показує переміщення серединної поверхні (червоне) і нормалі до цієї серединної поверхні (синє)

Теорія пластин Міндліна–Рейсснера являє собою розширенням теорії пластин Кірхгофа–Лява, яка враховує зсувні напруження та деформації по товщині пластини. Дана теорія була запропонована в 1951 році Раймондом Міндліном. Аналогічна, але не ідентична, теорія була запропоновані раніше Еріком Рейснером в 1945 році. Обидві теорії вивчають товсті пластини, в яких нормаль до серединної поверхні залишається прямою, але не обов'язково перпендикулярно до неї.Теорія Міндліна–Рейсснера використовується для розрахунку деформацій і напружень у пластині, чия товщина становить близько однієї десятої вимірюваної площі, в той час, як теорія Кірхгофа-Лява застосовується для більш тонких пластин.

Хотя і теорія називається на честь двох вчених, все-таки більш правильно її називати теорія пластин Міндліна. Теорія Рейснера трохи відрізняється від неї. Обидві теорії включають в площині зсув напруг, і обидві є розширенням теорії пластин Кірхгофа-Лява.

Теорія Міндліна передбачає, що існує лінійна зміна зміщень по товщині пластини, але сама товщина пластини не змінюється при деформації. Додаткове припущення полягає в тому, що нормальне напруження по товщині ігнорується; це припущення також називається плоский напружений стан. З іншого боку, теорія Рейсснера припускає, що напруження при згині лінійні, а зсувні напруження квадратичні по товщину плити. Це призводить до ситуації, коли зсув по товщині не обов'язково лінійний і товщина пластини може змінюватися в процесі деформації.

Теорія Міндліна

Теорія Міндліна була спочатку отримана для ізотропних пластин, використовуючи рівноважні міркування. Більш загальний варіант теорії, створений на енергетичних міркуваннях, обговорюється тут.

Допустимі поля зміщень

Гіпотеза Міндліна каже, що зміщення в пластині мають вигляд

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

де $x_{1}$ і $x_{2}$ є декартовими координатами на серединній поверхні недеформованої пластини і $x_{3}$ є координатою напрямку товщини, $u_{\alpha }^{0},~\alpha =1,2$ — переміщення на площині серединної поверхні, $w^{0}$— переміщення серединної поверхні в напрямку $x_{3}$, $\varphi _{1}$ і $\varphi _{2}$ — кути, які утворює нормаль до серединної поверхні до осі $x_{3}$. На відміну від теорії Кірхгофа-Лява, де $\varphi _{\alpha }$ є прямо пов'язана з $w^{0}$, теорія Міндіна вимагає, щоб $\varphi _{1}\neq w_{,1}^{0}$ і $\varphi _{2}\neq w_{,2}^{0}$.

Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями

В залежності від обертання нормалей пластини, можна отримати дві різні апроксимації для напруження з основних кінематичних припущень.

Для малих напружень і поворотів, співвідношення між деформаціями і переміщеннями для пластин Міндліна–Рейсснера мають вигляд:

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Деформація зсуву, а отже, і напруга зсуву по товщині пластини не нехтуються в цій теорії. Однак деформації зсуву є константою по всій товщині плити. Вони не є точними, так як напруга зсуву вважається параболічного навіть для пластини з простою геометрією. Для обрахунку похибки в деформації зсуву застосовується корекційний коефіцієнт зсуву ($\kappa$) так, що правильна кількість внутрішньої енергії і передбачається теорією. Тоді

$\varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)$

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги для пластин Міндліна–Рейсснера для малих деформацій і обертань мають вигляд

${\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}$

Напруження в площині визначаються як

$N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,,$

рівнодіючий момент визначається як

$M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,,$

і рівнодіюий зсув визначається як

$Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.$

Моменти згинів і нормальні напруження

Обертальні моменти і дотичні напруження

Рівнодіюча зсуву і дотичні напруження

Граничні умови

Граничні умови позначаються граничними термінами з принципу можливих переміщень.

Якщо єдиною зовнішньою силою є вертикальна сила на верхній поверхні пластини, то граничні умови мають вигляд

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}$

Співвідношення між напруженням та деформацією

Співвідношення між напруженням та деформацією для лінійних пружних пластин Міндліна–Рейсснера плити дають наступне

${\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}$

Так $\sigma _{33}$ не з'являється у рівнянь рівноваги, вважається, що воно не має ніякого впливу і ним нехтується. Інші співвідношення напруження–деформації для ортотропного матеріалу може бути записано у матричній формі у вигляді

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

Тоді,

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$

і

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}$

Для умов зсуву

${\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa ~\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{32}\end{bmatrix}}dx_{3}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}$

Поздовжня жорсткість має такий вигляд

$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Жорсткість при згині має такий вигляд

$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}\,.$

Теорія Міндліна для ізотропних пластин

Для рівномірної, однорідної і ізотропної пластини, співвідношення між напруженням та деформацією у площині пластини має вигляд

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$

де $E$ — модуль Юнга, $\nu$ — коефіцієнт Пуассона і $\varepsilon _{\alpha \beta }$ — площинна деформація. Напруження і деформація пов'язані через зсув по товщині таким чином

$\sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}$

де $G=E/(2(1+\nu ))$ — модуль зсуву.

Визначальні співвідношення

Співвідношення між рівнодіючою напруження та узагальною деформацією має такий вигляд

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,$

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,$

і

${\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa G2h{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.$

Жорсткість при згині має такий вигляд

$D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

Для пластини товщини $h$ на жорсткість при вигині має вигляд

$D={\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.$

Визначальні рівняння

Якщо відкинути розширення плити в площині, визначальні рівняння матимуть вигляд

${\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}$

З точки зору узагальнених деформацій, ці рівняння можна записати у вигляді

${\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}$

Граничні умови по краях прямокутної пластини мають вигляд

${\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}$

Зв'язок з теорією Рейсснера

Канонічний зв'язок для теорії зсувного деформування ізотропної плити може бути виражений як

${\begin{aligned}M_{11}&=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]+{\frac {q}{1-\nu }}\,{\mathcal {B}}\\M_{22}&=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\right]+{\frac {q}{1-\nu }}\,{\mathcal {B}}\\M_{12}&={\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)-2(1-{\mathcal {A}})\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\\Q_{1}&={\mathcal {A}}\kappa Gh\left(\varphi _{1}+{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{1}}}\right)\\Q_{2}&={\mathcal {A}}\kappa Gh\left(\varphi _{2}+{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{2}}}\right)\,.\end{aligned}}$

Зауважимо що товщина пластини має значення $h$ (а не $2h$) в наведених вище рівняннях і $D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]$. Якщо визначаємо момент Маркуса,

${\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w^{0}\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}$

ми можемо виразити рівнодіючу зсуву як

${\begin{aligned}Q_{1}&={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial x_{1}}}+{\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\right]-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}{\frac {\partial q}{\partial x_{1}}}\\Q_{2}&={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial x_{2}}}-{\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\right]-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}{\frac {\partial q}{\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}$

Поєднуючи вище наведені співвідношення та визначальні рівняння, запишемо рівняння рівноваги для узагальнених переміщень у наступному вигляді

${\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w^{0}+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}$

де

$c^{2}={\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\,.$

У теорії Міндліна, $w^{0}$ — це поперечне переміщення серединної поверхні пластини та величини $\varphi _{1}$ і $\varphi _{2}$ є обертаннями нормалі на серединній поверхні відносно осей $x_{2}$ і $x_{1}$ відповідно. Канонічними параметрами цієї теорії є ${\mathcal {A}}=1$ і ${\mathcal {B}}=0$. Корекційний коефіцієнт зсуву $\kappa$ зазвичай має значення $5/6$.

З іншого боку, у теорії Рейсснера, $w^{0}$ — середньозважений поперечний прогин, а $\varphi _{1}$ і $\varphi _{2}$ еквівалентні обороти, які не ідентичні з теорією Міндліна.

Зв'язок з теорією Кірхгофа-Лява

Якщо ми визначимо момент сум у теорії Кірхгофа-Лява таким чином

${\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}$

то ми можемо показати, що

${\mathcal {M}}={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi$

де $\Phi$ — бігармонічна функція, така, що $\nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0$. Ми можемо також показути, що, якщо $w^{K}$ — зміщення, яке передбачається для пластин Кірхгофа-Лява, то

$w^{0}=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi$

де $\Psi$ — функція, яка задовольняє рівняння Лапласа $\nabla ^{2}\Psi =0$. Повороти нормалі пов'язані з переміщенням пластин Кірхгофа-Лява таким чином

${\begin{aligned}\varphi _{1}=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}$

де

$Q_{1}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~\Omega :={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\,.$

Див. також

• Деформація згину
• Теорія пружності
• Теорія пластин
• Напруження

Джерела

1. Божидарник В.В., Сулим Г.Т. Елементи теорії пластичності та міцності. Львів: Світ, 1999. 945 с.