Напруження

Напрýження (механічне напруження) — міра інтенсивності внутрішніх сил, розподілених по перетинах, тобто зусилля, що припадають на одиницю площі перетину тіла. В Міжнародній системі одиниць напруження обчислюють у паскалях, Па.

При вирішенні питання про міцність конструкції недостатньо знати тільки систему сил, що діють на цю конструкцію. Необхідно знати ще її розміри та матеріал, з якого вона зроблена. На початку XIX століття Оґюстен-Луї Коші, відомий французький математик і механік, увів поняття напруження, яке одночасно характеризувало й силові фактори, що діяли в перерізі, й геометричні розміри цього перерізу. Напруження в загальному  — це відношення сили, що діє по площадці до величини (площі) цієї площадки.

Причинами виникнення напружень є дія зовнішніх сил, температурних полів чи проходження у матеріалі тіла фізико-хімічних процесів.

У гірництві — міра внутрішніх сил, які виникають у масиві гірських порід, в окремих елементах машин і споруд під впливом зовнішніх сил (навантажень, змін температури тощо).

Основні поняття

Рис. 1 Силові фактори, що виникають з умов рівноваги на елементарній площинці умовно розрізаного твердого тіла під впливом зовнішніх навантажень $F_i$

Рис. 2 Механічне напруження на елеметарній площинці $\Delta S$ під впливом зовнішніх силових факторів $F_i$

рис. 3 Напруження на гранях елементарного паралелепіпеда

Для визначення напружень у довільному перерізі, проведеному через яку-небудь точку тіла, застосовуємо метод перерізів. Через задану точку P (рис. 1), у якій треба визначити напруження, проведемо уявну січну площину, яка розділяє тіло на дві частини. Відкидаємо праву частину тіла і виділяємо навколо точки P елементарну площинку ΔS.

При деформуванні твердих тіл через наявність внутрішніх зв'язків у матеріалі виникають внутрішні силові фактори, котрі можна формально охарактеризувати величиною зусилля, що припадає на одиницю площі. Інтенсивність цих внутрішніх сил у певній точці називають механічним напруженням : $\sigma$, яке можна визначити як границю відношення зусилля $\Delta F$ до площі $\Delta S$, коли ця площа стягується до крапки (рис. 1).

$\sigma = \lim_{\Delta S\rightarrow 0}{\frac{\Delta F}{\Delta S}}.$

Коли говорити про напруження в точці, слід вказувати його напрям, який у загальному випадку не збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площинки. За напрям напруження приймається напрям рівнодійної $\Delta F$. Напруження в точці є величиною векторною (рис. 2).

Для випадку кінцевої площі, середнє напруження $\sigma$ на площі S можна знайти за формулою:

$\sigma = \frac F S$

F — сила, що виникає в тілі при деформації;

S — площа перетину.

Розрізняють два види компонент вектора механічного напруження:

• Нормальне механічне напруження (напруження розтягу-стиску) — прикладене на одиничну площинку перерізу зразка, по нормалі до перерізу (позначається $\sigma$).
• Дотичне механічне напруження (напруження зсуву) — прикладене на одиничну площинку перерізу зразка, у площині перерізу (позначається $\tau$).

Поняття напруження у вигляді двох складових — нормальної та дотичної — допомагають зрозуміти види руйнування тіла. Нормальне напруження зумовлює відрив частинок однієї від іншої в умовах розтягу. Дотичне напруження відповідно зумовлює їх взаємний зсув.

Тензор механічних напружень

Якщо околі точки P (рис.2) обмежити шістьма взаємно перпендикулярними площинами і отриманий елементарний паралелепіпед зорієнтувати ребрами паралельно осям декартових координат, то на кожній із граней паралелепіпеда будуть діяти відповідні напруження. Повні напруження у площинах xy, xz та yz можна розкласти по напрямах, паралельних до осей декартових координат (рис.3). Отримані дев'ять компонентів напружень повністю визначають напружений стан і утворюють тензор механічних напружень (тензор напружень Коші).

$\boldsymbol{\sigma}= \sigma_{ij} = \left[{\begin{matrix} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \\ \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \\ \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)} \\ \end{matrix}}\right] = \left[{\begin{matrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\ \sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\ \sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\ \tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\ \tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\ \end{matrix}}\right] \,\!$

де

$\sigma_{11}\,\!$, $\sigma_{22}\,\!$, і $\sigma_{33}\,\!$ —це нормальні напруження, а

$\sigma_{12}\,\!$, $\sigma_{13}\,\!$, $\sigma_{21}\,\!$, $\sigma_{23}\,\!$, $\sigma_{31}\,\!$, і $\sigma_{32}\,\!$ є дотичними напруженнями.

У загальному випадку напружений стан характеризується тензором механічних напружень, а стан, відмінний від одновісного розтягування-стискання - складним напруженим станом.

Джерела

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993 .- 655 с. ISBN 5-11-004083-5
• Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І. — К., 2009. — 380 с.
• Мильніков О.В. Опір матеріалів. Конспект лекцій. − Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. − 257 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.