Напруження

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Механіка суцільних середовищ
BernoullisLawDerivationDiagram.svg




Напрýження (механі́чне напру́ження) — міра інтенсивності внутрішніх сил, розподілених по перетинах, тобто зусилля, що припадають на одиницю площі перетину тіла. В Міжнародній системі одиниць напруження обчислюють у паскалях, Па.

При вирішенні питання про міцність конструкції недостатньо знати тільки систему сил, що діють на цю конструкцію. Необхідно знати ще її розміри та матеріал, з якого вона зроблена. На початку XIX століття Оґюстен-Луї Коші, відомий французький математик і механік, увів поняття напруження, яке одночасно характеризувало й силові фактори, що діяли в перерізі, й геометричні розміри цього перерізу. Напруження в загальному  — це відношення сили, що діє по площадці до величини (площі) цієї площадки.

Причинами виникнення напружень є дія зовнішніх сил, температурних полів (термічні напруження) чи проходження у матеріалі тіла фізико-хімічних процесів.

У гірництві — міра внутрішніх сил, які виникають у масиві гірських порід, в окремих елементах машин і споруд під впливом зовнішніх сил (навантажень, змін температури тощо).

Основні поняття[ред.ред. код]

Рис. 1 Силові фактори, що виникають з умов рівноваги на елементарній площинці умовно розрізаного твердого тіла під впливом зовнішніх навантажень  F_i
Рис. 2 Механічне напруження на елементарній площинці  \Delta S під впливом зовнішніх силових факторів  F_i
Рис. 3 Повний тензор механічного напруження елементарного паралелепіпеда

Для визначення напружень у довільному перерізі, проведеному через довільну точку тіла, застосовуємо метод перерізів. Через задану точку P (рис. 1), у якій треба визначити напруження, проведемо уявну січну площину, яка розділяє тіло на дві частини. Відкидаємо праву частину тіла і виділяємо навколо точки P елементарну площинку ΔS.

При деформуванні твердих тіл через наявність внутрішніх зв'язків у матеріалі виникають внутрішні силові фактори, котрі можна формально охарактеризувати величиною зусилля, що припадає на одиницю площі. Інтенсивність цих внутрішніх сил у певній точці називають механічним напруженням : \sigma, яке можна визначити як границю відношення зусилля  \Delta F до площі  \Delta S , коли ця площа стягується до крапки (рис. 1).

\sigma = \lim_{\Delta S\rightarrow 0}{\frac{\Delta F}{\Delta S}}.

Коли говорити про напруження в точці, слід вказувати його напрям, який у загальному випадку не збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площинки. За напрям напруження приймається напрям рівнодійної  \Delta F . Напруження в точці є величиною векторною (рис. 2).

Для випадку кінцевої площі, середнє напруження \sigma на площі S можна знайти за формулою:

\sigma = \frac F S
F — сила, що виникає в тілі при деформації;
S — площа перетину.

Види напружень[ред.ред. код]

Розрізняють два види компонент вектора механічного напруження:

  • Нормальне механічне напруження (напруження розтягу-стиску) — прикладене на одиничну площинку перерізу зразка, по нормалі до перерізу (позначається \sigma).
  • Дотичне механічне напруження (напруження зсуву) — прикладене на одиничну площинку перерізу зразка, у площині перерізу (позначається \tau).

Поняття напруження у вигляді двох складових — нормальної та дотичної — допомагають зрозуміти види руйнування тіла. Нормальне напруження зумовлює відрив частинок однієї від іншої в умовах розтягу. Дотичне напруження відповідно зумовлює їх взаємний зсув.

Напруження, якими оперують за результатами механічних випробувань, можуть бути істинними й умовними. Відомо, що в процесі деформації величина площини, на якій діють напруження (площа перерізу зразка), змінюється. Якщо ці зміни не враховують і напруження розглядають як відношення навантаження в даний момент до вихідної площі перерізу (S0), то їх називають умовними напруженнями. Якщо ж відносять силу до величини фактичного перерізу в даний момент деформування, то одержують істинне напруження. Фізичний зміст мають лише істинні напруження, проте на практиці часто буває зручніше користуватись умовними. Це особливо виправдано при малих деформаціях, коли зміна площі перерізу зразка є незначною.

Тензор механічних напружень[ред.ред. код]

Якщо околі точки P (рис.2) обмежити шістьма взаємно перпендикулярними площинами і отриманий елементарний паралелепіпед зорієнтувати ребрами паралельно осям декартових координат, то на кожній із граней паралелепіпеда будуть діяти відповідні напруження. Повні напруження у площинах xy, xz та yz можна розкласти по напрямах, паралельних до осей декартових координат (рис.3). Отримані дев'ять компонентів напружень повністю визначають напружений стан і утворюють тензор механічних напружень (тензор напружень Коші).

 \boldsymbol{\sigma}= \sigma_{ij} =  \left[{\begin{matrix} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \\
\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \\
\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)} \\
\end{matrix}}\right] =
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
\,\!

де

\sigma_{11}\,\!, \sigma_{22}\,\!, і \sigma_{33}\,\! —це нормальні напруження, а
\sigma_{12}\,\!, \sigma_{13}\,\!, \sigma_{21}\,\!, \sigma_{23}\,\!, \sigma_{31}\,\!, і \sigma_{32}\,\! є дотичними напруженнями.

У загальному випадку напружений стан характеризується тензором механічних напружень, а стан, відмінний від одновісного розтягування-стискання — складним напруженим станом.

Закон парності дотичних напружень[ред.ред. код]

Рис. 4 Рівновага виділеного паралелепіпеда у площині xOy

Закон парності дотичних напружень: на двох довільних взаємно перпендикулярних площинах, дотичні напруження, які перпендикулярні до лінії перетину площин, рівні за величиною і протилежні за знаком (\tau_{xy} = \tau_{yx}, \tau_{zy} = \tau_{yz}, \tau_{xz} = \tau_{zx}).

Доведення[ред.ред. код]

Розглянемо рівняння рівноваги виділеного елементарного паралелепіпеда у вигляді суми моментів сил відносно осей координат, що повинні дорівнювати нулю. Запишемо рівняння суми моментів сил відносно осі Oz (рис. 4):

\sum M(z) = \tau_{yx}dydz\frac{dx}{2} - \tau_{xy}dxdz\frac{dy}{2} + \left(\tau_{yx} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} dx\right)dydz\frac{dx}{2} -
- \left(\tau_{xy} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}dy\right)dxdz\frac{dy}{2} = 0

Моменти відносно осі Oz від нормальних сил відсутні. Із записаного рівняння випливає

\tau_{xy} = \tau_{yx}.

За аналогією для двох інших осей Ox та Oy:

\sum M(x) = 0 \Rightarrow \tau_{zy} = \tau_{yz}
\sum M(y) = 0 \Rightarrow \tau_{zx} = \tau_{xz}

Головні напруження[ред.ред. код]

Рис. 5 Залежність напружень на гранях паралелепіпеда від орієнтації координатних осей на прикладі плоского напруженого стану

При зміні напрямку координатних осей напруження на гранях елементарного паралелепіпеда змінюються. Теоретично доведено[1], що можна завжди знайти таке положення паралелепіпеда, коли на його гранях \tau_{xy} = \tau_{zy} = \tau_{xz} = 0.

Площини, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю, називаються головними. Нормальні напруження, що діють на головних площинах, називаються головними напруженнями.

Головні напруження позначаються: \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 при цьому повинно виконуватись правило \sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3.

Деякі з головних напружень можуть дорівнювати нулю. В залежності від кількості відмінних від нуля головних напружень розрізняють наступні види напруженого стану:

  • лінійний (одновісний);
  • плоский (двовісний);
  • об'ємний (тривісний).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. У курсі тензорного аналізу доводиться, що при певному повороті осей тензор другого рангу завжди може бути приведений до діагонального вигляду (всі компоненти тензора, що знаходяться поза головною діагоналлю будуть дорівнювати нулю). Отже, і тензор напружень можна привести до діагонального виду. На головній діагоналі тензора напружень розташовані нормальні напруження, а поза нею — дотичні. Це означає, що для будь-якого напруженого стану існує така прямокутна система координат, в координатних площинах якої діють лише нормальні напруження, а всі дотичні напруження в цих площинах дорівнюють нулю.

Джерела[ред.ред. код]

  • Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. — К.: Наукова думка, 1976. — 416 с.
  • Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с. ISBN 5-11-004083-5
  • Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І. — К.: Знання, 2009. — 380 с.
  • Мильніков О. В. Опір матеріалів. Конспект лекцій. — Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. — 257 с.
  • Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Елементи теорії пружності. — Львів: Світ, 1994. — 560с. ISBN 5-7773-0109-6


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.