Теорія плит Кірхгофа — Лява

Деформація тонкої пластини, яка показує переміщення серединної поверхні (червона) і нормалі до цієї серединної поверхні (синя)

Теорія пластин Кірхгофа-Лава являє собою двовимірну математичну модель, яка використовується для визначення напружень і деформацій в тонких пластинах, на які діють сили і моменти. Ця теорія, яка є продовженням Теорії балки Ейлера-Бернуллі  була розроблена в 1888 році Лавом з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом. Ця теорія припускає, що проміжна поверхню пластини може використовуватися для представлення тривимірної пластини в двовимірному вигляді.

Кінематичні припущення, прийняті в цій теорії:

• прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
• прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні, залишаються перпендикулярними до серединної поверхні після деформації
• товщина пластини не змінюється в процесі деформування.

Допустимі поля зміщень

Нехай радіус-вектор точки в недеформованій пластині — $\mathbf {x}$. Тоді

$\mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.$

Вектори ${\boldsymbol {e}}_{i}$ формують прямокутну систему координат з початком координат на середині поверхні пластини, $x_{1}$ і $x_{2}$ — Декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, і $x_{3}$ — координата в напрямку товщини.

Нехай зміщення точки на пластині — $\mathbf {u} (\mathbf {x} )$. Тоді

$\mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}$

Це переміщення можна розкласти на вектор сум серединно-поверхневих зміщень $u_{\alpha }^{0}$ і зміщень $w^{0}$ поза площиною в напрямку $x_{3}$.

$\mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }$

Зазначимо, що індекс $\alpha$ приймає значення 1 і 2, але не 3.

Тоді з гіпотези Кірхгофа випливає, що

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

Якщо $\varphi _{\alpha }$ є кутами повороту нормалі до серединної поверхні, тоді в теорії Кігхгофа-Лява

$\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}$

Зазначимо, що ми можемо представити вираз для $u_{\alpha }$ як розклад у ряд Тейлора першого порядку переміщення серединної поверхні.

Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Квазістатична пластина Кірхгофа-Лява

Оригінальна теорія, розроблена Лявом, була дійсна для нескінченно малих деформацій і поворотів. Теорія була розширена  Карманом, коли незначні повороти допустимі.

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями

Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно мале і повороти нормалі до поверхні становлять менше 10° відношення відносного видовження становлять ^{[прояснити]}

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}$

З допомогою кінематичних припущень отримуємо

$\varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}\omega _{,\alpha \beta }^{0}$

$\varepsilon _{\alpha 3}=-\omega _{,\alpha }^{0}+\omega _{,\alpha }^{0}=0$

$\varepsilon _{33}=0$

Тому існує єдина ненульова деформація в площині спрямування.

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи. Для тонкої пластини під квазістатичним поперечним навантаженням $q(x)$ у напрямку $x_{3}$ ці рівняння мають вигляд:

${\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q\end{aligned}}$

де $2h$ - товщина пластини. В індексному представленні,

$N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\;\;\;\;\;\;\;N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }dx_{3}$

$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0\;\;\;\;\;\;\;M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}\sigma _{\alpha \beta }dx_{3}$

де $\sigma _{\alpha \beta }$ - напруження.

Моменти згинів і нормальні напруги

Обертальні моменти і дотичні напруги

Виведення рівнянь рівноваги при малих поворотах

Для ситуації, коли напруження і повороти пластини є незначними, внутрішня енергія становить: ${\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[{\frac {1}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~N_{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~d\Omega \end{aligned}}$ де товщина пластини - $2h$ напруженість і момент напруженості визначені: $N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}$ Інтегруємо частинами і отримуємо: ${\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left[-{\frac {1}{2}}~(N_{\alpha \beta ,\beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0})+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~(n_{\beta }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0})-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}$ Симетричність тензору напруженості показує, що $N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }$. Отже $\delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma$ Ще одне інтегрування частинами дає: $\delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma$ У випадку, коли немає зовнішніх сил, принцип можливих переміщень говорить, що $\delta U=0$. Рівняння рівноваги для пластини задане як: ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}$

Граничні умови

Граничні умови, які необхідні для розв'язування рівнянь рівноваги теорії пластин можуть бути отримані з граничних умов в принципі можливих переміщень. У відсутності зовнішніх сил на границі, граничні умови

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}$

Основні співвідношення

Співвідношення деформації у випадку лінійної пружньої пластини задані як:

${\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}$

Оскільки $\sigma _{\alpha 3}$ і $\sigma _{33}$ не використовуються в рівнянні рівноваги то передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на динаміку балансу та не враховуються. Решта співвідношень деформації можна записати у матричній формі

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

Потім,

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$

і

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$

Поздовжня жорсткість є рівною

$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }dx_{3}$

Жорсткість на згині задана величиною

${\displaystyle }$$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}C_{\alpha \beta }dx_{3}$

Згідно з припущень Кірхгофа-Лява сили зсуву не діють. Як результат, рівняння рівноваги використовуються для визначення сил зсуву в тонких пластинах Кірхгофа-Лява. Для ізотропних пластин рівняння виглядають

$Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}\omega ^{0})$

Крім того, ці сили зсуву можуть бути виражені як 

$Q_{\alpha }=M_{,\alpha }$

де

$M=-D\nabla ^{2}\omega ^{0}$

Малі деформації і незначні повороти

Якщо повороти нормалі до поверхні знаходяться в діапазоні від 10$^{\circ }$ до 15$^{\circ }$,

$\varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }u_{3,\beta })$

$\varepsilon _{\alpha 3}={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })$

$\varepsilon _{33}=u_{3,3}$

За допомогою кінематичних припущень Кірхгофа-Лява отримуємо класичну теорію пластин Кармана

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Ця теорія є нелінійною через квадратичні співвідношення між деформаціями і переміщеннями.

Якщо співвідношення між деформаціями і переміщеннями взяти за Карманом, то рівняння рівноваги може бути виражена як

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}$

Див. також

• Деформація згину
• Деформація пластин
• Відносне видовження
• Теорія пружності
• Теорія пластин
• Напруження
• Вібрація плит
• Теорія пластин Міндліна-Рейснера