Тотожності Ньютона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці тотожності Ньютона, також відомі як формули Ньютона-Жирара, задають співвідношення між двома типами симетричних многочленів , а саме між симетричним многочленом суми степеневого ряду та елементарним симетриченим многочленом. Для монічного многочлену P вони дають можливість знайти суму k-тих степенів всіх коренів P (з урахуванням кратності) виражену через коефіцієнти P, без фактичного знаходження цих коренів. Ці тотожності були відкриті Ісааком Ньютоном близько 1666 року, і можливо, в ранніх робітах (1629) Альберта Жирара. Вони знаходять застосування в багатьох областях математики, в тому числі теорії Галуа, теорії інваріантів, теорії груп, комбінаторики, а також в інших науках, в тому числі в загальній теорії відносності.

Математичні твердження[ред.ред. код]

Формулювання з допомогою симетричних поліномів[ред.ред. код]

Нехай x1,…, xn будуть змінними, для k ≥ 1 позначимо суму k-тих степенів цього ряду як pk(x1,…,xn)  :

p_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum\nolimits_{i=1}^nx_i^k = x_1^k+\cdots+x_n^k,

і для k ≥ 0 позначимо ek(x1,…,xn) елементарний симетричний поліном (многочлен) який являє собою суму всіх можливих різних добутків k різних змінних, зокрема

\begin{align}
e_0(x_1,\ldots,x_n) &= 1,\\
e_1(x_1,\ldots,x_n) &= x_1+x_2+\cdots+x_n,\\
e_2(x_1,\ldots,x_n) &= \textstyle\sum_{1 \leq i<j\leq n}x_ix_j,\\
e_n(x_1,\ldots,x_n) &= x_1x_2\cdots x_n,\\
e_k(x_1,\ldots,x_n) &= 0, \quad\text{for}\ k>n.\\
\end{align}

Тоді тотожності Ньютона можуть бути записані наступним чином

 ke_k(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} e_{k-i} (x_1,\ldots,x_n) p_i(x_1,\ldots,x_n),

для всіх k ≥ 1. Для кількох перших значень k отримаємо:

\begin{align}
 e_1(x_1,\ldots,x_n) &= p_1(x_1,\ldots,x_n),\\
 2e_2(x_1,\ldots,x_n) &= e_1(x_1,\ldots,x_n)p_1(x_1,\ldots,x_n)-p_2(x_1,\ldots,x_n),\\
 3e_3(x_1,\ldots,x_n) &= e_2(x_1,\ldots,x_n)p_1(x_1,\ldots,x_n) - e_1(x_1,\ldots,x_n)p_2(x_1,\ldots,x_n) + p_3(x_1,\ldots,x_n).\\ 
\end{align}