Комбінаторика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Комбінато́рика (Комбінаторний аналіз) — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай, скінченної множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що зветься комбінаторною конфігурацією. Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, оптимізація таких алгоритмів, а також розв'язання задач переліку.

Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття.

Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими розділами математики.

Термін «комбінаторика» ввів Лейбніц, який у 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво».

Іноді під комбінаторикою розуміють більш широкий розділ дискретної математики, що включає теорію графів.

Основні положення[ред.ред. код]

Під комбінаторикою звичайно розуміють розділ дискретної математики, присвячений розв'язанню задач про вибір та розміщення елементів скінченної множини згідно із заданими правилами. У результаті створюються необхідні комбінаторні об'єкти чи конфігурації. Характерними властивостями цих об'єктів є те, що вони відповідають деяким обмеженням щодо них, і тому завжди можна розпізнати дозволений комбінаторний об'єкт, який відповідає правилам його побудови, і недозволений, який не відповідає цим правилам.

З комбінаторикою мають справу хіміки при вивченні різних можливих типів зв'язків атомів у молекулах; біологи, наприклад, у процесі знаходження послідовностей амінокислот у білкових сполуках; кібернетики при розв'язанні задач кодування й побудові обчислювальних пристроїв, математики — при розв'язанні багатьох різних задач, особливо в теорії ймовірності. Також комбінаторику використовують у своїх моделях фізики, архітектори, економісти й представники багатьох інших наук.

Комбінаторні задачі[ред.ред. код]

У комбінаториці є декілька задач, які вирішуються послідовно одна за одною. Перша з них спочатку формулює вимоги до класу комбінаторних конфігурацій, які потрібно побудувати. Доводиться, що хоча б одна така конфігурація існує, попри те, що побудувати таку конфігурацію може бути досить непросто. Тому інколи буває достатньо теоретичного доведення її існування.

Після розв'язання першої задачі комбінаторики розв'язується не менш важлива друга — задача переліку комбінаторних об'єктів, які відповідають вихідним правилам їх побудови. Саме на розв'язання цієї задачі спрямовані сьогодні зусилля багатьох учених. Є досить багато задач, які так чи інакше стосуються цієї загальної задачі. Наприклад, до неї належить питання про кількість різних способів, якими можна розмістити групу студентів з 30 чоловік на 30 чи більше місцях, або про кількість способів проведення матчів з футболу між 10 різними командами?

Далі на основі отриманих розв'язків конкретних задач з переліку комбінаторних об'єктів розв'язується третя задача комбінаторики — це її побудова. Наприклад, потрібно не лише підрахувати кількість можливих варіантів розподілу 30 студентів на 30 місцях, а й побудувати всі ці розподіли або деякі з них у вигляді їх комбінаторних конфігурацій. Також може виникнути потреба побудувати таблицю матчів між 10 футбольними командами, а не тільки знати їх кількість.

Четверта і остання задача комбінаторики — це задача про пошук серед комбінаторних конфігурацій такої, яка б приводила деяку функцію до оптимуму. Це на сьогодні досить нелегка для розв'язання загальна задача. Вона містить задачі комбінаторної оптимізації, наприклад, задачу комівояжера, яка на сьогодні ще не має остаточного розв'язання.

Правило суми[ред.ред. код]

В основі розв'язання багатьох задач комбінаторики лежать два простих правила — правило суми та правило добутку. Правило суми стверджує, що якщо є можливість вибрати елемент з деякої множини елементів А n способами, а елемент з множини В, яка не має спільних елементів з множиною А, — k способами, то вибрати елемент множини А або елемент множини В можна n+k способами.

Це правило зручно продемонструвати з допомогою такої моделі. Якщо маємо дві урни і в одній з них знаходиться n куль, а в іншій k, то кількість способів, якими можна буде вийняти кулю з тієї чи іншої урни, дорівнюватиме n+k. Дійсно, з першої урни кулю можна вийняти n способами, але якщо з першої урни кулю не виймати, то тоді з другої урни її можна вийняти k способами. Тому загальна кількість способів, якими можна вийняти одну кулю з двох урн, буде дорівнювати n+k. У загальному випадку правило суми може бути сформульоване таким чином.

Якщо треба виконати якусь дію n1 , n2 ,… або nk способами, то кількість можливих способів реалізації цієї дії буде дорівнювати

N = n1 +n2 +… + nk.

Особливістю цього правила є те, що воно використовує сполучник або, який протиставляє різні дії одна одній.

Приклад 1. На денне чергування в студентському гуртожитку може піти або студент з кімнати 1, де проживають три студенти, або студент з кімнати 2, де проживають чотири студенти. Скількома способами можна вибрати одного студента на денне чергування в гуртожитку? Розв'язання. Загальна кількість способів, якими можна вибрати одного студента або з кімнати 1 або з кімнати 2 на денне чергування, згідно з правилом суми буде 3+4=7.

Правило добутку[ред.ред. код]

Правило добутку використовується тоді, коли кожний елемент множини А може бути вибраний разом з елементом множини В. Відповідно до кожного способу вибору елемента множини А буде зіставлятися k способів вибору елемента множини В. Тоді загальна кількість способів сумісного вибору елементів множини А з елементами множини В, очевидно, дорівнюватиме n\cdot k.

Модель урн можна застосувати і для ілюстрації правила добутку. У цьому випадку розглядаються дві урни, у першій з яких знаходиться n куль, а в другій k. Будемо вважати, що будь-якій кулі першої урни може відповідати будь-яка куля з другої урни. А оскільки в першій урні знаходиться n куль, то й кількість способів вибору куль з першої урни разом з різними кулями з другої урни буде дорівнювати n\cdot k.

У загальному вигляді правило Добутку буде мати такий вигляд.

Якщо треба виконати якусь дію, що може бути виконана к сумісними діями, перша з яких може бути виконана n1 способами, друга — n2 і т. д. до к — ої дії, яку можна виконати nk способами, то основна дія може бути виконана М способами, де

М =n1•n2 •…•nk.

У цьому правилі важливу роль відіграє сполучник і, який об'єднує різні дії в одну.

Приклад 2. На денне чергування в студентському гуртожитку вибирається два студента — один студент з трьох, що проживають у кімнаті 1, і один студент з чотирьох, які проживають у кімнаті 2. Скільки існує можливих способів формування різних пар з двох студентів для чергування? Розв'язання. Кількість способів чергувань двох студентів з різних кімнат відповідно до правила добутку буде 3*4=12.

Джерела інформації[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]


Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналізРекреаційна математика