Кільце (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебраїчна структура, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями, подібними до додавання і множення цілих чисел. Вивченням властивостей кілець присвячена теорія кілець.

Означення та нотація[ред.ред. код]

Кільце \ R — це множина з двома бінарними операціями, що звичайно позначаються "\ +" та "\ \cdot" і називаються додаванням та множенням, яка задовільняє наступній системі аксіом:

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею.

Розглядаються також кільця, у яких не задовільняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями.

Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення входять до означення кільця.

Кільця, що задовольняють на вимогу комутативності множення a\cdot b=b\cdot a, називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів.

Символ \cdot зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, a+bc є скороченим записом a+b\cdot c.

Якщо для двох елементів кільця a та b виконується рівність  ab = ba = 1, то кажуть, що b є оберненим елементом до a відносно множення. В цьому випадку елемент b однозначно визначається елементом a і позначається b=a^{-1} (звичайно, маємо також, що a=b^{-1}).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з a b = 0 витікає, що або a = 0, або b = 0, то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

Приклади[ред.ред. код]

  • Поліноми однієї змінної x із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається \mathbb{Z}[x]. Додавання та множення поліномів — почленні, тобто

(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_0)+(b_n x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots+(a_0+b_0),

(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_0)+(b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\ldots+b_0)=
a_n b_m x^{n+m}+(a_n b_{m-1}+a_{n-1} b_m) x^{n+m-1}+\ldots+a_0 b_0.

Так само, комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної із раціональними, дійсними, або комплексними коефіцієнтами.

  • Для будь-якого натурального N, множина всіх N\times N матриць із цілими елементами утворює кільце, яке позначається M_{N}(\mathbb{Z}).\ Це кільце — некомутативне, якщо N\geqslant 2.
  • Кватерніони — це ще одне некомутативне кільце. На відміну від матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.
  • Групова алгебра \mathbb{Z}[G] довільної групи G — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце \mathbb{Z}[G] — комутативне тоді, і тільки тоді, коли G — комутативна група.

Властивості кілець[ред.ред. код]

  • якщо кільце містить більше одного елемента, то \ 0 \ne 1
  • 0\cdot a=a\cdot 0=0
  • (-1)\cdot a= -a
  • \ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}, якщо \ a і \ b обидва мають обернені елементи. Отже множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається \ R^{\times}.
Наприклад, \mathbb{Z}^{\times}=\{1,-1\}\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}циклічна група порядка 2.

Ідеали[ред.ред. код]

Непорожня підмножина I кільця R називається правим ідеалом, якщо:

  • з a,b \in I витікає a-b \in I;
  • з a \in I витікає a r \in I для будь-якого r \in R. Інакше кажучи, ідеал містить усі праві кратні a r.

Ліві ідеали визначаються схожим чином, з заміною правих кратних на ліві кратні r a.
Нарешті, двосторонній ідеал — це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом.
Для комутативних кілець усі три поняття збігаються, тож говорять просто про ідеал.

Приклади ідеалів в комутативних кільцях:

  • Нульовий ідеал, що містить лише нуль;
  • Одиничний ідеал, що містить усі елементи кільця;
  • Ідеал (a), породжений елементом a, що складається з усіх його кратних елементів ra, де r \in R.

Цей ідеал є найменшим серед ідеалів, які містять елемент a. Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент a
Наприклад, ідеал (2) у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел.
Схожим чином можна побудувати ідеал (a_1,a_2,\ldots,a_n), породжений кількома елементами a_1,a_2,\ldots,a_n, як сукупність сум вигляду \sum{r_i a_i}, де r_i \in R, або як перетин усіх ідеалів кільця R, які містять елементи a_1,a_2,\ldots,a_n. У цьому випадку кажуть, що елементи a_1,a_2,\ldots,a_n складають базис цього ідеалу.
Головний ідеал — це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали є завжди головними, бо вони породжуються нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно.

Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа у кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів) - найбільшому спільному дільникові.

Евклідові кільця та кільця головних ідеалів[ред.ред. код]

Докладніше: Евклідове кільце

Евклідове кільце — це цілісне кільце, в якому для кожного елемента a \ne 0 визначено число g(a) \ge 0 з такими властивостями:

  • Для будь-яких елементів кільця ab \ne 0, b \ne 0 справедливо g(ab) \ge g(a).
  • Якщо елемент a \ne 0, то будь-який елемент b можна представити у вигляді
b=aq+r,

де або r=0, або g(r)<g(a).
Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ділення з остачею в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел g(a)=|a| (абсолютна величина), для многочленів g(a)=\deg(a) (степінь многочлена). Кільця названі на честь Евкліда, який запропонував алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як алгоритм Евкліда. Цей алгоритм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести наступну теорему.

Теорема. В евклідовому кільці кожен ідеал є головним.

Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називаеться кільцем головних ідеалів. Таким чином, кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Конструювання нових кілець з даних[ред.ред. код]

  • Якщо підмножина S кільця (R,+,*) разом з операціями + і *, обмеженими S, сама є кільцем, і нейтральний елемент 1 R міститься в S, тоді S називають підкільцем кільця (R,+,*).
  • Центром кільця R називають множину елементів R, що комутують з кожним елементом з R; таким чином, c знаходиться в центрі кільця, якщо cr=rc для кожного rR. Центр є підкільцем кільця R. Кажемо, що підкільце S кільця R є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця R.
  • Прямою сумою двох кілець R і S називаємо Декартів добуток R×S разом з операціями
(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) та
(r1, s1) * (r2, s2) = (r1*r2, s1*s2).
  • Якщо дано кільце R та ідеал I кільця R, кільце відношень (або фактор-кільце) R/I є множиною суміжних класів I разом з операціями
(a+I) + (b+I) = (a+b) + I та
(a+I) * (b+I) = (a*b) + I.
  • Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток R над кільцем S з іншим кільцем T і отримати інше кільце, якщо S є центральним підкільцем R та T.
  • До будь-якого кільця R, можна приєднати змінну x і отримати R[x] - кільце многочленів над R. Послідовно приєднуючі знінні, можна отримати R[x_1, x_2, \ldots, x_n] - кільце многочленів від n змінних над кільцем R.

Див. також[ред.ред. код]