Точка округлення

Точка округлення (сферична точка, омбілічна точка) — точка на гладкій регулярній поверхні в трьохвимірному евклідовому просторі, в якій нормальні кривизни в усіх напрямках є рівними. Еквівалентно у цій точці дві головні кривини є рівними, тобто власні значення відображення Вейнгартена (диференціалу сферичного відображення) є рівними.

Для гіперповерхонь у евклідових просторах вищих розмірностей можна дати два різних узагальнення поняття точки округлення. Згідно з одним узагальненням точкою округлення називається точка, в якій усі головні кривини (власні значення відображення Вейнгартена) є рівними, згідно з другим вимагається рівність лише принаймні якихось двох головних кривин.

Точки округлення і лінії кривини поверхні навколо них. У випадку загального положення існують три топологічно різні типи, які називають «лимон», «зірка» і «монстар»

Приклади

Точки округлення на Триосному еліпсоїді

• Усі точки сфери (чи гіперсфери для вищих розмірностей) еліптичних точок округлення.
• Усі точки площини є плоскими точками округлення.
• Триосний еліпсоїд (з попарно різними осями) має чотири точки округлення, всі вони еліптичні і відносяться до типу «лимон».
• Мавпяче сідло (тобто поверхня задана рівнянням $z=x^{3}-3xy^{2}$) має ізольовану плоску точку округлення на початку координат.

Властивості

У точці округлення:

• головні кривизни поверхні є рівними.
• Перша квадратична форма і друга квадратична форма поверхні є пропорційними.
• Будь-який дотичний напрямок є головним напрямком.
• Дотичний параболоїд є параболоїдом обертання.
• Індикатриса Дюпена є колом.
• Мережа ліній кривини (тобто ліній, в кожній точці яких дотичний напрям є головним напрямом поверхні), має особливість.
• Будь-яка точка округлення є або еліптичною точкою поверхні (якщо головні кривини не рівні нулю, і отже, гаусова кривина поверхні в даній точці є додатною), або плоскою точкою округлення (якщо головні кривини дорівнюють нулю і отже гаусова кривина і середня кривина поверхні в даній точці дорівнюють нулю). У першому випадку в малому околі точки округлення поверхня схожа на сферу, а в другому — на площину.
• Множина точок округлення на поверхні є замкнутою. Це випливає з того, що гаусова і середня кривини H і K є гладкими функціями на поверхні і функції головних кривин задаються як $k_{1,2}={\frac {H\pm {\sqrt {H^{2}-4K}}}{2}}.$ Тоді p є точкою округлення якщо $k_{1}(p)=k_{2}(p)$ тобто $H(p)^{2}-4K(p)=0.$ Іншими словами множина точок округлення є замкнутою множиною $(H(p)^{2}-4K)^{-1}(0).$
• Якщо всі точки зв'язаної гіперповерхні M у евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ є точками округлення (у розумінні, що всі головні кривини є рівними) то гіперповерхня є відкритою підмножиною гіперплощини чи гіперсфери.

Нехай $p\in M$ є довільною точкою і $X_{p}\in T_{p}M$ — довільним дотичним вектором у цій точці. Нехай X і Y є гладкими векторними полями такими, що в точці p поле X є рівним $X_{p},$ а поле Y є рівним деякому лінійно незалежному вектору $Y_{p}.$

Оскільки всі точки на M є точками округлення то відображення Вейнгартена задовольняє рівність $dN=fI,$ де I є тотожним відображенням дотичного простору у кожній точці, а f — гладкою функцією. Із рівнянь Кодацці — Майнарді випливає рівність:

$0=\nabla _{X}(fY)-\nabla _{Y}(fX)-f[X,Y]=(Xf)Y-(Yf)X,$ оскільки для гіперповерхонь евклідового простору стандартні зв'язності задовольняють рівність $\nabla _{X}(Y)-\nabla _{Y}(fX)-[X,Y].$ У точці p, зважаючи на лінійну незалежність $X_{p}$ і $Y_{p}$ звідси маємо $X_{p}f=0.$ Оскільки точка p і вектор $X_{p}$ є довільними і M є зв'язаним простором, то f є константою.

Нехай $dN=kI,\ k\in \mathbb {R} .$ Якщо k = 0, то $dN=0$ і нормаль до поверхні N є сталою, тобто поверхня є відкритою підмножиною гіперсфери. В іншому випадку можливо після зміни напрямну нормалі можна вважати k > 0. Нехай r = (-1)/k і розглянемо відображення $g:M\to \mathbb {R} ^{n}$ задане як $g(p)=p+rN(p),\ p\in M.$ Тоді диференціал цього відображення у точці p для дотичного вектора $X\in T_{p}M$ маємо $dg(p)(X)=X+rdN(p)(X)=X+(-1/k)kX=0.$ Тобто диференціали у кожній точці є нульовими, а тому відображення g є константою. Якщо позначити $c=p-1/kN(p)$ то всі точки M знаходяться на відстані -1/k від точки c, тобто M є відкритою підмножиною гіперсфери.

Гіпотеза Каратеодорі

Згідно з гіпотезою Каратеодорі на будь-якій достатньо гладкій замкнутій випуклій поверхні M в тривимірному евклідовому просторі існують як мінімум дві точки округлення. Ця гіпотеза була згодом доведена при додатковому припущенні, що поверхня M — аналітична.

Див. також

• Відображення Гауса
• Кривина (математика)

Література

• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J., ISBN 0442034105 (англ.)