Транспонована матриця

Транспонована матриця — матриця $A^T$ , що виникає з матриці $A$ в результаті унарної операції транспонування: заміни її рядків на стовпчики.

Формально, транспонована матриця $\ A^T = (b_{ij})$ для матриці $\ A = (a_{ij})$ визначається як

$\ b_{ij} = a_{ji}, \quad i = \overline{1, n}, \quad j = \overline{1, m}.$

Наприклад:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ та $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

Властивості [ред.]

$\ (A^\mathrm{T})^\mathrm{T}= A$ — операція транспонування є інволюцією.
$\ (rA)^\mathrm{T} = r A^\mathrm{T}$
$\ (A + B)^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}$ — транспонування є лінійним відображення матриць розміру m×n в матриці розміру n×m.
$\ (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}$
$\ (A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T}$
$\ \det A = \det A^T$
Власні значення $\ A^T$ збігаються з власними значеннями $\ A$ .
Якщо елементи матриці $\ A$ є дійсними, то матриця $A^\mathrm{T} A$ — є невід'ємноозначеною матрицею.