Матриця (математика)

Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. В цій статті вони розглядатися не будуть.

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень.

Означення та нотація

Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпцями.

Матрицю, що складається з m рядків та n стовпців, називають матрицею m-на-n (або mn-матрицею), а m і n — її розмірністю.

Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.

Записують це як A_i,j чи A[i,j], або, в нотації мови програмування C, A[i][j].

Часто пишуть $\ A:=(a_{i,j})_{n \times m}$ для означення матриці A розмірності n x m, де кожен елемент матриці A[i,j] позначають як a_ij для всіх 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ j ≤ m.

Приклад

Матриця $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 1 & 5 \end{bmatrix}$     є матрицею 4×3. Елемент A[2,3], або a_2,3 дорівнює 7.

Додавання та множення матриць

Додавання

Якщо дано дві матриці m-на-n A і B, можемо означити їх суму A + B як матрицю m-на-n, що утворюється додаванням відповідних елементів, себто,
(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Наприклад,

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Множення на скаляр

Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[i, j] = cA[i, j]. Наприклад,

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

З цими двома операціями множина M(m, n, R) усіх матриць m-на-n з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.

Множення матриць

Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця m-на-n (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця n-на-p (n рядків, p стовпчиків), їх добуток AB є матрицею m-на-p (m рядків, p стовпчиків), що розраховується за формулою:

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] для кожної пари i та j.

Наприклад,

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Це множення має такі властивості:

• (AB)C = A(BC) для всіх матриць A розмірності k-на-m, B розмірності m-на-n і C розмірності n-на-p (асоціативність).
• (A + B)C = AC + BC для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності n-на-k (дистрибутивність).
• C(A + B) = CA + CB для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності k-на-m (дистрибутивність).

Зауваження: комутативність має місце не завжди: для добутку певних матриць A і B може бути AB ≠ BA.

Матриці називають антикомутативними, якщо AB = −BA. Такі матриці є дуже важливими в представленнях алгебр Лі та в представленнях алгебр Кліффорда.

Лінійні перетворення, ранг і транспонування

• Матриці можуть представляти лінійні перетворення, оскільки множення матриць відповідає композиції відображень, як це буде показано далі.

Надалі ототожнюватимемо Rⁿ з множиною рядків або матриць n-на-1. Для кожного лінійного відображення f : Rⁿ -> R^m існує єдина матриця A розмірності m-на-n така, що f(x) = Ax для всіх x з Rⁿ. Кажемо, що матриця A "представляє" лінійне відображення f. Тепер, якщо матриця B розмірності k-на-m представляє інше лінійне відображення g : R^m -> R^k, лінійне відображення g o f представлене матрицею BA. Це випливає з зазначеної вище властивості асоціативності множення матриць.

• Ранг матриці A — це розмірність образа лінійного відображення, представленого матрицею A. Вона збігається з розмірністю простору, згенерованого рядками матриці A, а також із розміром простору, згенерованого стовпчиками матриці A.

• Транспонованою матрицею матриці A розмірності m-на-n є матриця A^tr (також іноді позначають як A^T або ^tA) розмірності n-на-m, яку одержують заміною рядків стовпчиками і навпаки, себто A^tr[i, j] = A[j, i] для всіх індексів i та j. Якщо A описує лінійне відображення відносно двох базисів, матриця A ^tr описує транспозицію лінійного відображення відносно дуальних базисів, див. дуальний простір.

Маємо (A + B)^tr = A^tr + B^tr і (AB)^tr = B^tr * A^tr.

Спеціальні види матриць

У багатьох розділах математики з'являються матриці певної структури. Декілька важливих прикладів:

• Квадратна матриця
• Одинична матриця
• Симетрична матриця — матриця, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі (від верхнього лівого до нижнього правого кута) є рівними, себто,

a_i,j = a_j,i.

• Нормальна матриця
• Ідеальна матриця
• Унітарна матриця
• Ермітова матриця (або самоспряжена) — матриця, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі є комплексно-спряженими один до одного, себто,

a_i,j=a^*_j,i.

• Стохастичні матриці — квадратні матриці, стовпчики яких є векторами ймовірності; вони застосовуються для означення Марківських ланцюгів.

Матриці в абстрактній алгебрі

Якщо взяти кільце R, можемо розглядати множину M(m,n, R) усіх матриць m на n з елементами з R. Додавання та множення цих матриць може бути означене, як у випадку дійсних чи комплексних матриць. Множина M(n, R) усіх квадратних матриць n на n над кільцем R сама є кільцем, ізоморфним до кільця ендоморфізмів правого R-модуля Rⁿ.

Також, якщо елементи беруться з напівкільця S, додавання та множення матриць можна означити звичайним чином. Множина всіх квадратних матриць n×n над S сама є напівкільцем. Зважте на те, що алгоритми множення матриць, такі як алгоритм Штрассена, взагалі застосовні лише до матриць над кільцями і не працюють для матриць над напівкільцями, що не є кільцями.

Якщо R є комутативним кільцем, тоді M(n, R) є унітарною асоціативною алгеброю над R. Також має сенс означити детермінант квадратних матриць, застосовуючи формулу Лейбніца. Матриця має обернену тоді й лише тоді, коли її визначник як елемент R має обернений елемент в R.

Усі твердження цієї статті для дійсних та комплексних матриць справджуються і для матриць над довільним полем.

Матриці над кільцем поліномів є важливими у вивченні теорії регулювання.

Історія

Вивчати матриці почали досить давно. Латинські квадрати та магічні квадрати були відомі ще в доісторичні часи.

Китайський текст «Математика в дев'яти книгах» (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання матриць для розв'язання системи рівнянь, включаючи поняття визначника, ще задовго до введення визначників японським математиком Такакадзу Секі (1683) та німецьким математиком Лейбніцем (1693). Крамер розвинув цю теорію, ввівши правило Крамера 1750 р. Карл Фрідріх Гаус та Вільгельм Жордан розробили метод Гауса-Жордана знаходження оберненої матриці 1800 р.

Термін «матриця» уперше було запроваджено 1848 р. Дж. Дж. Сильвестром. Кейлі, Гамільтон, Ґрассман, Фробеніус, фон Нойман та інші видатні математики зробили свій внесок у теорію матриць.

Див. також

• Теорія матриць
• Лінійна алгебра
• Вектор
• Мінор матриці
• Алгебраїчне доповнення
• Загальна лінійна група

Література

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Физматлит, 2010. — 560 с.
• Голуб Дж., ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с.
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1982. — 272 с.