Система коренів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ця стаття описує систему коренів у математиці, для опису кореневої системи рослин дивіться — корінь.

У математиці система коренів (коренева система) — це конфігурація векторів в евклідовому просторі, що задовольняє певним геометричним властивостям. Ця концепція є фундаментальною в теорії груп Лі. З тих пір як групи Лі (і деякі інші аналоги, такі як алгебричні групи) протягом двадцятого століття з'явилися в багатьох розділах математики. Більш того, класифікація систем коренів за схемами Динкіна​​ зустрічається в розділах математики, не пов'язаних явно з групами Лі (наприклад, в теорії сингулярностей).

Означення[ред.ред. код]

Нехай V — скінченновимірний евклідів простір із звичайним скалярним добутком позначається як (\cdot,\;\cdot). Система корнів у V — це скінченна множина \Phi ненульових векторів (званих корнями), що задовільняють наступним властивостям.

Цілістна умова для \scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle} змушує \scriptstyle\beta лежати на одній з вертикальних прямих. Комбінація цієї умови з цілістною умовою для \scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle} зводить можливі кути між \scriptstyle\alpha и \scriptstyle\beta не більш ніж до двох, для кожної з вертикальних прямих.
  1. V є лінійною оболочкою системи коренів.
  2. Якщо два кореня \alpha \in \Phi, \beta \in \Phi є колінеарними векторами, то або вони співпадають, або \beta = -\alpha.
  3. Для кожного кореня \alpha \in \Phi множина \Phi замкнута відносно віддзеркалення в гіперплощині, що перпендикулярна \alpha. Тобто для будь-яких двох коренів \alpha і \beta, множина \Phi містить віддзеркалення \beta
    \sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)}\alpha \in \Phi.
  4. (Цілістна умова) Якщо \alpha і \beta є корені у \Phi, тоді проекія \beta на пряму, що проходить через \alpha, є напівцілий добуток \alpha. Тобто
     \langle \beta,\; \alpha \rangle = 2 \frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)} \in \mathbb{Z}.

Беручи до уваги властивість 3, цілісне умова еквівалентно твердженням, що різниця між \beta та його відображенням \sigma_\alpha(\beta) дорівнює корню \alpha, помножиному на ціле число. Слід зазначити, що оператор

 \langle \cdot,\; \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}

визначений властивістю 4 не є скалярним добутком. Він не симетричний і лінійний лише за першим аргументом.

Класифікація систем коренів за схемою Динкіна[ред.ред. код]

Все соединенные диаграммы Дынкина

Приклади системи коренів рангу 1 і рангу 2[ред.ред. код]

Існує тільки одна система коренів рангу 1, вона складається з двох ненульових векторів \{\alpha,\;-\alpha\}. Ця система називається A_1.

У ранзі 2 існують чотири можливі варіанти \sigma_\alpha(\beta)=\beta+n\alpha, де n=0,\;1,\;2,\;3.

Система коренів рангу 2
Система коренів Система коренів
Система коренів A_1\times A_1 Система коренів A_2
Система коренів Система коренів
Система коренів B_2 Система коренів G_2

Посилання[ред.ред. код]

  • Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук, 2 (1947) (4(20)) С. 59–127.
  • Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник, 18(60) (1946) (3) С. 347–352.
  • Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
  • Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
  • Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.