Факторизація многочленів

Факториза́ція многочле́на — подання многочлена у вигляді добутку многочленів менших степенів.

Основна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен над полем комплексних чисел можна подати у вигляді добутку лінійних многочленів, причому єдиним чином з точністю до сталого множника та порядку слідування співмножників.

Протилежністю факторизації многочленів є їх розширення, перемноження поліноміальних множників для отримання «розширеного» многочлена, записаного у вигляді суми доданків.

Квадратичні многочлени

Ілюстрація многочлена $x^{2}+cx+d=(x+a)(x+b)$, де $a+b$ дорівнює $c$ і $a\cdot b$ дорівнює $d$.

Будь-який квадратичний многочлен на комплексних числах (многочлени вигляду $ax^{2}+bx+c$, де: $a$, $b$, і $c$ ∈ $\mathbb {C}$) можна факторизувати виразами вигляду $a(x-\alpha )(x-\beta )\$, використовуючи квадратне рівняння. Цей метод використовують так:

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a(x-\alpha )(x-\beta )\\&=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),\end{aligned}}$

де $\alpha$ і $\beta$ — два корені многочлена, знайдені при розв'язуванні квадратного рівняння.

Многочлени на цілих числах

$(mx+p)(nx+q),$

де:

$mn=a,\ pq=c$

і

$pn+mq=b.$

Можна кожен двочлен прирівняти до нуля і знайти для $x$ два корені. При факторизації достатньо використати саме ці формули для розв'язування квадратного рівняння. Візьмемо для прикладу рівняння $2x^{2}-5x+2=0$. Оскільки $a=2$ і $mn=a$, $mn=2$, що означає, що $m$ і $n$ дорівнюють 1 і 2. Тепер ми маємо $(2x+p)(x+q)=0$. Оскільки $c=2$ і $pq=c$, $pq=2$, що означає, що p і q дорівнюють 1 і 2, або один з них −1, а інший −2. Підставляючи 1 та 2, або −1 і −2 замість p і q (оскільки $pn+mq=b$), бачимо, що $2x^{2}-5x+2=0$ факторизується в $(2x-1)(x-2)=0$, даючи корені $x=\{0,5;2\}$.

Зауваження: швидкий спосіб визначення, чи є другий член додатним, чи від'ємним (як у наведеному прикладі, 1 і 2 чи − 1 і − 2) полягає у перевірці другої операції тричлена (+ чи −). Якщо стоїть +, то перевіряємо першу операцію: якщо вона теж +, член буде додатним, а якщо операція −, то член буде від'ємним. Якщо друга операція − то один член буде додатним, другий — від'ємним. Така перевірка є єдиним способом визначення який член буде додатним, а який від'ємним.

Якщо многочлен із цілими коефіцієнтами має дискримінант, який є повним квадратом, то многочлен факторизується цілими числами.

Розглянемо, наприклад, поліном $2x^{2}+2x-12$. Якщо підставити значення у квадратичну формулу, то дискримінант $b^{2}-4ac$ буде $2^{2}-4\cdot 2\cdot (-12)$ і дорівнює 100. Число 100 є повним квадратом, тому поліном $2x^{2}+2x-12$ факторизується цілими числами; ці фактори дорівнюють 2, $(x-2)$ та $(x+3)$.

Тепер розглянемо поліном $x^{2}+93x-2$. Його дискримінант $93^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)$ дорівнює 8657, що не є повним квадратом. Тому вираз $x^{2}+93x-2$ неможливо факторизувати цілими числами.

Повний квадратний тричлен

Ілюстрація ідентичності $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Деякі квадратні тричлени можна факторизувати двома однаковими двочленами. Їх називають повними квадратними тричленами. Повний квадратний тричлен можна факторизувати так:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2},$

і

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}.$

Сума/різниця двох квадратів

Інший загальний метод алгебричної факторизації називають різницею двох квадратів. Він полягає у застосуванні формули

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),$

У випадку додавання обидва двочлени матимуть уявний член:

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi).$

Наприклад, $4x^{2}+49$ можна факторизувати як $(2x+7i)(2x-7i)$.

Групування

Ще одним методом розкладання на множники деяких многочленів є факторизація групованням.

Факторизація групуванням робиться шляхом розташування членів многочлена на дві або більше груп, кожну з яких можна факторизувати відомим способом. Результати цих факторизацій іноді можна скомбінувати так, щоб отримати простіший вираз. Наприклад, щоб факторизувати многочлен

$4x^{2}+20x+3yx+15y$,

згрупуємо подібні члени: $(4x^{2}+20x)+(3yx+15y)$,

факторизуємо через найбільший спільний дільник $4x(x+5)+3y(x+5)$

і факторизуємо на біноми $(x+5)(4x+3y)$

AC метод

Якщо квадратний тричлен має корені на раціональних числах, можна знайти p і q такі, що $pq=ac$ і $p+q=b$. (Якщо дискримінант є квадратом числа, то вони існують, інакше ми матимемо ірраціональні або комплексні корені, і припущення про раціональний корінь є неприпустимим.)

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&={\frac {a^{2}x^{2}+abx+ac}{a}}&={\frac {(ax+p)(ax+q)}{a}}\end{aligned}}$

Верхні члени будуть мати спільні фактори, які можна використати для позбавлення від знаменника, якщо він не дорівнює 1. Як приклад розглянемо квадратичний многочлен

${\begin{aligned}6x^{2}+13x+6\end{aligned}}$

Перевірка факторів $ac=36$ приводить до $4+9=13=b$.

${\begin{aligned}6x^{2}+13x+6&={\frac {(6x+4)(6x+9)}{6}}\\&={\frac {2(3x+2)(3)(2x+3)}{6}}\\&=(3x+2)(2x+3)\end{aligned}}$

Інші многочлени

Сума/різниця двох кубів

Виконаємо факторизацію суми та різниці двох кубів. Суму двох кубів можна подати у вигляді:

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),$

а різницю:

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).$

Наприклад, $x^{3}-10^{3}$ (або $x^{3}-1000$) можна факторизувати у вигляді: $(x-10)(x^{2}+10x+100)$.

Див. також

• Факторизація
• Формули скороченого множення