Корінь многочлена

Корінь многочлена (не рівного тотожно нулю)

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$

над полем $K$ — це елемент $c\in K$ (елемент розширення поля $K$) такий, що виконуються дві такі рівносильних умови:

• даний многочлен ділиться на многочлен $x-c$;
• підстановка елемента $c$ замість $x$ перетворює рівняння

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0$

на тотожність, тобто значення многочлена стає рівним нулю.

Рівносильність двох формулювань випливає з теореми Безу. В різних джерелах будь-яке з двох формулювань вибирається як визначення, а інше виводиться як теорема.

Кажуть, що корінь $c$ має кратність $m$, якщо розглянутий многочлен ділиться на $(x-c)^{m}$ і не ділиться на $(x-c)^{m+1}.$ Наприклад, многочлен $x^{2}-2x+1$ має єдиний корінь, який дорівнює $1$ кратності $2$. Вираз «кратний корінь» означає, що кратність кореня більша від одиниці.

Кажуть, що многочлен має $n$ коренів без урахування кратності, якщо кожен корінь враховується під час підрахунку один раз. Якщо ж кожен корінь враховується кількість разів, рівну його кратності, то кажуть, що підрахунок ведеться з урахуванням кратності.

Властивості

• Кількість коренів многочлена з урахуванням кратності не менша, ніж без урахування кратності.
• Число коренів многочлена степеня $n$ не перевищує $n$ навіть у тому випадку, якщо кратні корені враховувати з урахуванням кратності.
• Кожен многочлен $p(x)$ з комплексними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь (основна теорема алгебри).
  • Аналогічне твердження істинне для будь-якого алгебрично замкнутого поля на місці поля комплексних чисел (за визначенням).
  • Більш того, многочлен з дійсними коефіцієнтами $p(x)$ можна записати у вигляді

$p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),$

де $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ — (у загальному випадку — комплексні) корені многочлена $p(x)$, можливо, з повтореннями, при цьому якщо серед коренів $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ многочлена $p(x)$ зустрічаються рівні, то їхнє спільне значення називається кратним коренем, а кількість — кратністю цього кореня.

• Число комплексних коренів многочлена з комплексними коефіцієнтами степеня $n$ з урахуванням кратності дорівнює $n$. При цьому всі чисто комплексні корені (якщо вони є) многочлена з дійсними коефіцієнтами можна розбити на пари спряжених однакової кратності. Таким чином, многочлен парного степеня з дійсними коефіцієнтами може мати, з урахуванням кратності, тільки парне число дійсних коренів, а непарного — тільки непарне.
• Корені многочлена пов'язані з його коефіцієнтами формулами Вієта.

Знаходження коренів

Спосіб знаходження коренів лінійних і квадратичних многочленів у загальному вигляді, тобто спосіб розв'язання лінійних та квадратних рівнянь, був відомий ще в стародавньому світі. Пошуки формули для точного розв'язання загального рівняння третього степеня тривали довго, а увінчалися успіхом у першій половині XVI століття в працях Сципіона дель Ферро, Нікколо Тартальї і Джероламо Кардано. Формули коренів квадратних і кубічних рівнянь дозволили порівняно легко отримати формули коренів рівняння четвертого степеня.

Те, що корені загального рівняння п'ятого степеня і вище не виражаються за допомогою раціональних функцій і радикалів від коефіцієнтів (тобто те, що самі рівняння не є розв'язними в радикалах), довів норвезький математик Нільсом Абель 1826 року. Це зовсім не означає, що коренів такого рівняння не можна знайти. По-перше, за деяких особливих комбінацій коефіцієнтів корені рівняння можна визначити (див., наприклад, зворотне рівняння). По-друге, існують формули для коренів рівнянь 5-го степеня і вище, що використовують спеціальні функції — еліптичні або гіпергеометричні (див., наприклад, корінь Брінга).

У випадку, якщо всі коефіцієнти многочлена раціональні, то знаходження його коренів зводиться до знаходження коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. Для раціональних коренів таких многочленів існують алгоритми знаходження перебором кандидатів з використанням схеми Горнера, причому під час знаходження цілих коренів перебір можна істотно зменшити прийомом чищення коренів. Також у цьому випадку можна використати поліноміальний LLL-алгоритм.

Для приблизного знаходження (з будь-якою необхідною точністю) дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами використовуються ітераційні методи, наприклад, метод січних, метод бісекції, метод Ньютона, метод Лобачевського — Греффе. Кількість дійсних коренів многочлена на інтервалі можна визначити за допомогою теореми Штурма.

Див. також

• Схема Горнера
• Метод Ліля — графічний метод знаходження дійсних коренів многочленів довільного степеня.
• Нуль функції