Основна теорема алгебри

Основна теорема алгебри стверджує, що всякий відмінний від константи многочлен над полем комплексних чисел має комплексний корінь.

Звідси випливає, що многочлен степеня $n$ має $n$ комплексних коренів, враховуючи їхні кратності.

Доведення

Найпростіше доведення цієї теореми дається методами комплексного аналізу. Використовується той факт, що функція, яка аналітична на всій комплексній площині й не має особливостей на нескінченності, є константа. Тому, функція, зворотна многочлену, повинна мати хоч один полюс на комплексній площині, а, відповідно, многочлен має хоч один корінь.

Історія

Як припущення ця теорема вперше зустрічається у німецького математика Пітера Роуте (пом. 1617). Перші доведення основної теореми алгебри належать Жирару, 1629 р., і Декарту, 1637 р., у формулюванні, відмінному від сучасного. Маклорен і Ейлер уточнили формулювання надавши їй форму, еквівалентну сучасній:

«

Всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток лінійних і квадратичних множників з дійсними коефіцієнтами.

»

Даламбер першим в 1746 р. опублікував доведення цієї теореми. Його доказ грунтувався на лемі, що якщо для якоїсь x f(x)≠0, де f(x) — многочлен ступеня ≥1, то знайдеться точка x₁ така, що |f(x₁)|<|f(x)|. Доказ цей був би абсолютно строгим, якби Д'аламбер міг довести, що десь на комплексній площині значення модуля многочлена досягає найменшого значення. У 2-ій половині XVIII століття з'являються докази Ейлера, Лапласа, Лагранжа і інших. У всіх цих доказах передбачається заздалегідь, що якесь «ідеальний» корінь многочлена існує, а потім доводиться, що, принаймні, один з них є комплексним числом. Ґаусс першим дав доказ без цього припущення (єдиним недоведеним Ґауссом припущенням було те, що многочлен з дійсними коефіцієнтами приймає як позитивне, так і негативне значення також має і корінь, що досить геометрично очевидно). Його доказ, по суті, містить побудову поля розкладання многочлена.

З часів доведення теореми в алгебрі було відкрито дуже багато нового, тому сьогодні «основною» цю теорему назвати вже не можна: ця назва тепер є історичною. Крім того доведення теореми не цілком «алгебраїчне», воно застосовує твердження про топологію комплексної площини, або хоч би дійсної прямої.

Дивіться також

• Алгебраїчні та комплексні числа.
• Рівняння.