Квадратне рівняння

Квадра́тні рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

$ax^2 + bx + c = 0, \!$ де $a\ne 0 \!$.

Загальним розв'язком цього рівняння є формула

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

Загальні відомості

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа $\ a, b, c$ — його коефіцієнти, при чому $\ a$ також називається першим коефіцієнтом, $\ b$ — другим, $\ c$ — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

• або два різних дійсних корені,
• або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
• або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як $x_1$ та $x_2$ або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то $x_{1,2}.$ В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: $x_+$ і $x_-.$.)

Неповні квадратні рівняння

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо $\ a = 0$, то $\ ax^2 + bx + c = 0$ перетворюється у лінійне рівняння $\ bx + c = 0$. Якщо хоч один коефіцієнт $\ b$ або $\ c$ дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

• $ax^2 = 0 \!$;
• $ax^2 + bx = 0 \!$;
• $ax^2 + c = 0 \!$.

Розв'язування неповних квадратних рівнянь

• Рівняння виду $ax^2 = 0$ рівносильне рівнянню $x^2 = 0$ і тому завжди має тільки один корінь $x = 0$.
• Рівняння виду $ax^2 + bx = 0$ розв'язується винесенням за дужки $x$: $x(ax + b) = 0$. Таке рівняння має два корені: $x_1 = 0, x_2 = -b/a$
• Квадратне рівняння виду $ax^2 + c = 0$ рівносильне рівнянню $x^2 = -c/a$. Якщо $-c/a > 0$, воно має два дійсних розв'язки, якщо $-c/a < 0$ — жодного дійсного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то $-c/a$ додатне і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число $-c/a$ від'ємне і $ax^2 + bx = 0$ не має дійсних корен

Повне квадратне рівняння

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів $a, b, c \!$ не дорівнює нулю.

Дискримінант

Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискриміна́нта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою $D \!$.

Помноживши обидві частини рівняння $ax^2 + bx + c = 0 \!$ на $4a \!$, дістанемо:

$4a^2x^2 + 4axb + 4ac = 0 \!$,

$(2ax)^2 + 4axb + b^2 - b^2 + 4ac = 0 \!$

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \!$.

Права частина цього виразу і є дискримінантом:

$D = b^2 - 4ac \!$

Розв'язування повних квадратних рівнянь

Якщо $D > 0\!$, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню $(2ax + b)^2 = \left(\sqrt D \right)^2$, звідки

$2ax + b = \sqrt D,\qquad x=\frac{-b + \sqrt D}{2a},$

або

$2ax + b = -\sqrt D,\qquad x=\frac{-b - \sqrt D}{2a}.$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед $\sqrt D \!$. Коротко ці корені записують так:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}$, де $D = b^2 - 4ac \qquad (1). \!$

Якщо $D = 0 \!$, то $2ax + b = 0 \!$, звідки $x = -\frac{b}{2a}$ — єдиний корінь (правильніше - два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm i \cdot \sqrt{-b^2 - 4ac}}{2a}.$

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a},$ де :$k = \frac{b}{2}.$

Зведені квадратні рівняння

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці — $a = 1$. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на $a\!$:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0. \!$

Теорема Вієта

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \!$ і позначимо $\frac{b}{a}$ через $p, \!$ а $\frac{c}{a}$ через $q. \!$ Тоді воно матиме такий вигляд:

$x^2 + px + q = 0, \!$

отже за теоремою Вієта:

$x_1 + x_2 = -p, \!$

$x_1\cdot x_2 = q.$

Доведення

Якщо рівняння $x^2 + px + q = 0 \!$ має корені $x_1 \!$ і $x_2, \!$ то їх можна знаходити за формулами:

$x_1 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ і $x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}.$

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

$x_1 + x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = -p,$

$x_1\cdot x_2 = \frac{(-p)^2 - (\sqrt{p^2 - 4q})^2}{4} = \frac{p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = q.$

Теорема обернена до теореми Вієта

Якщо сума і добуток чисел $m \!$ і $n \!$ дорівнюють відповідно $-p \!$ і $q \!$, то $m \!$ і $n \!$ — корені рівняння $x^2 + px + q = 0 \!$.

Використання теореми Вієта та оберненої до неї

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

$2x^2 + 16x + 14 = 0. \!$

Щоб звести рівняння поділимо його на 2(незведене рівняння матиме корені -4 -28)

$x^2 + 8x + 7 = 0. \!$

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

$x_1 = -7,\quad x_2 = -1.$

Інші методи розв'язування

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в нагоді у деяких часткових випадках. Так, наприклад, формулу

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^2 - q}$

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає і в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

$x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} \qquad (2),$

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при $c = 0$. Тобто у випадку відсутності вільного члена з допомогою неї не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

$x_1 = \frac{-b - \sgn b \,\sqrt {b^2-4ac}}{2a},$

$x_2 = \frac{c}{ax_1},$

де $\sgn b$ — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія

Графік функції y = x² − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x² − x − 2 = 0

Корені рівняння

$ax^2 + bx + c = 0 \!$

є також нулями функції

$f(x) = ax^2 + bx + c. \!$

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли $D = 0$, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \!$, де $x_1, x_2 \!$ — корені цього рівняння.

Рівняння, що зводяться до квадратних

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду $ax^{2n} + bx^n + c = 0$, зробивши заміну $t = x^n$. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

$3x^6 - 21x^3 + 30 = 0. \!$

Зробимо заміну $t = x^3$:

$3t^2 - 21t + 30 = 0. \!$

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

$t_1 = \frac{2 \cdot 30}{21 + \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 + \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{30} = 2,$

$t_2 = \frac{2 \cdot 30}{21 - \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 - \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{12} = 5.$

Маючи значення $t$ легко знайти корені початкового рівняння:

$x_1 = \sqrt[3]{t_1} = \sqrt[3]{2},$

$x_2 = \sqrt[3]{t_2} = \sqrt[3]{5}.$

Історія

розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не зважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду $ax^2 + bx = c$ уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Аль-Хорезмі описав алгоритм для знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Див. також

• Рівняння
• Кубічне рівняння
• Теорема Вієта
• Формули скороченого множення