Дискримінант

Дискриміна́нт (від лат. discriminar — «розбирати», «розрізняти») многочлена $p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ — за визначенням це добуток

$D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$,

де $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ - всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують.

Властивості

• Дискримінант рівний нулю т. і т. т., коли многочлен має кратні корені.
• Дискримінант є симетричним многочленом щодо коренів многочлена і тому є многочленом від його коефіцієнтів; ба більше, коефіцієнти цього многочлена цілі, тому не залежать від розширення, в якому беруться корені.
• $D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p')$, де $R(p,p')$ — результант многочлена $p(x)$ і його похідної $p'(x)$.
  • Зокрема, дискримінант многочлена

    $p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

    рівний, з точністю до знаку, визначникові такої матриці:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$

Приклади

• Дискримінант квадратного тричлена $ax^2+bx+c$ дорівнює $b^2-4ac$;
• Дискримінант многочлена $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ дорівнює

$4a_1^3a_3 - a_1^2a_2^2 + 4a_0a_2^3 - 18a_0a_1a_2a_3 + 27a_0^2a_3^2.$

• • Зокрема, дискримінант многочлена $x^3+px+q$ (корені якого обчислюється за формулою Кардано) дорівнює − $-27q^2-4p^3$.