Дискримінант

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дискриміна́нт (від лат. discriminar — «розбирати», «розрізняти») многочлена p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n — за визначенням це добуток

D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2,

де \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n - всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують.

Властивості[ред.ред. код]

  • Дискримінант рівний нулю т. і т. т., коли многочлен має кратні корені.
  • Дискримінант є симетричним многочленом щодо коренів многочлена і тому є многочленом від його коефіцієнтів; ба більше, коефіцієнти цього многочлена цілі, тому не залежать від розширення, в якому беруться корені.
  • D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p'), де R(p,p')результант многочлена p(x) і його похідної p'(x).
1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . . 0
0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . 0
0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0
n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . . 0
0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . 0
0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0
0 0 0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1

Приклади[ред.ред. код]

  • Дискримінант квадратного тричлена ax^2+bx+c дорівнює b^2-4ac;
  • Дискримінант многочлена a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 дорівнює
4a_1^3a_3 - a_1^2a_2^2 + 4a_0a_2^3 - 18a_0a_1a_2a_3 + 27a_0^2a_3^2.
    • Зокрема, дискримінант многочлена x^3+px+q (корені якого обчислюється за формулою Кардано) дорівнює − -27q^2-4p^3.