Форма хвилі

Синусоїда, меандр, трикутна та пилчаста хвилі

Синусоїда, меандр і пилка на частоті 440 Гц

Форма хвилі — наочне подання форми сигналу, такого як хвиля, що поширюється у фізичному середовищі, або його абстрактне подання.

У багатьох випадках середовище, в якому поширюється хвиля, не дозволяє спостерігати її форму візуально. У цьому випадку термін «хвиля» стосується форми графіка величини, що змінюється з часом або залежить від відстані. Для спостереження форми електричних коливань можна використати осцилограф, що відображає на екрані значення вимірюваної величини та її зміну з часом.

У ширшому сенсі терміни «сигнал», «хвиля», «коливання» використовують для форми графіка значень будь-якої величини, що змінюється з часом чи в просторі.

Приклади хвиль (коливань) основних форм

Найчастіше розглядаються періодичні сигнали таких видів ($t$ — час, $A$ — амплітуда коливання, $T$ — період, $f=1/T$ — частота основної гармоніки).

Синусоїдна хвиля

Амплітуда синусоїдної хвилі змінюється відповідно до тригонометричної функції синуса:

$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0}),$

де $\omega$ — циклічна частота, що показує, на скільки радіан змінюється фаза коливання за 1 с (рад/с),

$\omega =2\pi f$ ,

$\varphi _{0}$ — початкова фаза коливань, яка визначає значення повної фази коливань у момент часу $t=0.$

Спектр синусоїдної хвилі містить лише одну спектральну лінію із частотою коливання.

Прямокутна хвиля

Сигнали такого роду, як правило, використовують для подання та передавання цифрових даних. Аналітично можна записати багатьма способами, наприклад, через функцію Гевісайда $h(t)$:

$x(t)=2\ A\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[h\left({\frac {t}{T}}-n\right)-h\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{S}}\right)\right]-1,$

де $S$ — прогальність.

При $S=2$ описує меандр — періодичні коливання в яких тривалості додатної та від'ємної півхвиль рівні.

Спектр прямокутної хвилі лінійчастий, причому в спектрі меандра відсутні парні гармоніки, амплітуда гармонік падає зі збільшенням частоти на 6 дБ/октава:

$x(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left[2\pi (2k-1)ft\right]}{2k-1}}={\frac {4}{\pi }}\left[\sin(2\pi ft)+{\frac {1}{3}}\sin(6\pi ft)+{\frac {1}{5}}\sin(10\pi ft)+\dots \right].$

Трикутна симетрична хвиля

Протягом половини періоду лінійно наростає, протягом другої половини періоду падає з тією ж швидкістю. Аналітично можна записати у вигляді:

$x(t)={\frac {2A}{\pi }}\arcsin \left[\sin \left({\frac {2\pi }{T}}t\right)\right].$

Спектр трикутної хвилі лінійчастий, у спектрі відсутні парні гармоніки, амплітуда гармонік падає зі збільшенням частоти на 12 дБ/октава:

$x(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}}\sin \left[{\frac {2\pi (2k+1)}{T}}t\right].$

Пилчаста хвиля

Лінійно наростає протягом усього періоду, наприкінці періоду миттєво знижується до початкового значення. Графічно виглядає як зуби пилки. У техніці пилчаста напруга або пилчастий струм використовують у розгортках осцилографів і для сканування телевізійного растру. Аналітично можна описати виразом:

$x(t)={\frac {2A}{\pi }}\operatorname {arcctg} \left(\operatorname {tg} {\frac {\pi t}{T}}\right).$

Спектр пилкоподібної хвилі лінійний, у спектрі присутні як парні, так і непарні гармоніки, амплітуда гармонік падає зі збільшенням частоти на 6 дБ/октава:

$x(t)={\frac {A}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}.$

Інші форми хвиль

Інші форми сигналів часто називають складеними або складними, оскільки їх можна описати у вигляді суми кількох синусоїдних хвиль або інших функцій.

Зокрема, будь-яке періодичне коливання подаване у вигляді ряду Фур'є (або інтеграла Фур'є в разі неперіодичного коливання).

Література

• Yuchuan Wei, Qishan Zhang. Common Waveform Analysis: A New And Practical Generalization of Fourier Analysis. Springer US, Aug 31, 2000
• Hao He, Jian Li, and Petre Stoica. Waveform design for active sensing systems: a computational approach. Cambridge University Press, 2012.
• Solomon W. Golomb, and Guang Gong. Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge University Press, 2005.
• Jayant, Nuggehally S and Noll, Peter. Digital coding of waveforms: principles and applications to speech and video. Englewood Cliffs, NJ, 1984.
• Soltanalian M. Signal Design for Active Sensing and Communications. Uppsala Dissertations from the Faculty of Science and Technology (printed by Elanders Sverige AB), 2014.
• Nadav Levanon, and Eli Mozeson. Radar signals. Wiley. com, 2004.
• Jian Li, and Petre Stoica, eds. Robust adaptive beamforming. New Jersey: John Wiley, 2006.
• Fulvio Gini, Antonio De Maio, and Lee Patton, eds. Waveform design and diversity for advanced radar systems. Institution of engineering and technology, 2012.
• John J. Benedetto, Ioannis Konstantinidis, and Muralidhar Rangaswamy. «Phase-coded waveforms and their design.» IEEE Signal Processing Magazine, 26.1 (2009): 22-31.

Посилання

• Erfassung von Wellenformen beim Oszilloskop
• Wellenformen nach Maß
• Radar-Wellenformen erzeugen, messen und auswerten
• Wellenform basierte Quellenlokalisierung im Vergleich zu konventionellen Methoden