Радіан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Кут в один радіан відрізує дугу такої ж довжини що і радіус кола.

Радіа́нматематиці та фізиці) — це одиниця вимірювання площинних кутів, прийнята Міжнародною Системою Одиниць СІ.

Один радіан це площинний кут, утворений двома радіусами, так, що довжина дуги між ними точно дорівнює радіусу кола. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є безрозмірною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad)[1], але, як правило, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити їх від радіанів.

Пояснення[ред.ред. код]

Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:

2π рад = 360°,
1 рад = 360°/(2π) = 180°/π ≈ 57,29578°.
360° = 2π рад,
1° = 2π/360 рад = π/180 рад.

Властивості[ред.ред. код]

Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1,

що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.

При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.

Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:

\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}

Розмірність[ред.ред. код]

Радіан є безрозмірною одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м−1 (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник скорочуються, тобто воно немає розмірності).

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots.

Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x3/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірним.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. ДСТУ 3651.1-97 Метрологія. Одиниці фізичних величин. Похідні одиниці фізичних величин Міжнародної системи одиниць та позасистемні одиниці.

Джерела[ред.ред. код]

  • Алєксєєв, В. М. Математика: Довідковий повторювальний курс [Текст] : [навч. посібник] / В. М. Алєксєєв, Р. П. Ушаков;за ред. М. Й. Ядренка. — К. : Вища школа, 1992. — 494 с. — ISBN 5-11-000094-1
  • Математика для вступників до вузів [Текст] : навчальний посібник / В. В. Семенець, М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарев та ін. — Харків : СМІТ, 2002. — 1120с. — ISBN 966-7714-88-8. — ISBN 966-95983-1-1