Радіан

Кут в один радіан відрізає дугу такої ж довжини що і радіус кола.

В математиці та фізиці, радіан це одиниця виміру плоских кутів, прийнята Міжнародною Системою Одиниць СІ.

Один радіан це плоский кут, утворений двома радіусами, такий, що довжина дуги між ними точно дорівнює радіусу кола. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є безрозмірною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad), але, як правило, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити їх від радіанів.

Пояснення

Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:

2π рад = 360°,

1 рад = 360°/(2π) = 180°/π ≈ 57.29578°.

360° = 2π рад,

1° = 2π/360 рад = π/180 рад.

Властивості

Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1$

що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.

При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.

Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:

$\cos(x) = x - \frac{x^2}{2}$

Розмірність

Радіан є безрозмірною одиницею виміру. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіану, як відношення довжини кола до радіусу. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м^-1.

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$

Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена глузду — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x³/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірним.

Див. також

• Стерадіан,
• Тригонометрія,
• Полярні координати.