Французька залізнична метрика

Основні залізничні магістралі Франції в 1856 році зходилися у Парижі

Французька залізнична метрика є незвичайним прикладом метрики.

Назва цієї метрики походить від дуже централізовано прокладеної (особливо раніше) залізничної мережі Франції, в якій майже всі шляхи сходилися у Парижі.

Внаслідок цього, наприклад, щоб дістатися залізницею зі Страсбурга до Ліона, треба було зробити гак в 400 км через Париж — доводилося миритися з тим, що немає прямого зв'язку.

Це спонукало одного невідомого математика визначити таку метрику: якщо $X$ є деякою множиною точок площини (міста Франції зі залізничним зв'язком через Париж) і $p$ — фіксована вибрана точка (Париж), то можна визначити на $X$ метрику $\rho \colon X\times X\to \mathbb {R}$ таким чином:

$\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,\quad x-p=\lambda (y-p)\\\|x-p\|+\|y-p\|,\quad x-p\neq \lambda (y-p)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R}$

Тут $\rho (x,y)$ треба розуміти як відстань залізничним шляхом від міста $x$ до міста $y$.

Ця конструкція допускає елементарне узагальнення на будь-який нормований простір.

Властивості

У невиродженому випадку, тобто коли існують неколінеарні вектори, французька залізнична метрика — найпростіший приклад метрики, яка не є породженою нормою.

Дійсно, припустимо протилежне. Нехай така норма існує. Візьмемо два неколінеарні вектори $a$ і $b$, для яких $\left|a\right|\leqslant \left|b\right|$. Тоді вектори $a+b$ і $b$ також неколінеарні, і виконується $\rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)$.

Для метрики $d$, що породжена нормою, ця нерівність порушується:

$d(p+a,p)=|p+a-p|=|a|\leq d(p,p+b)=|p-p-b|=|{-b}|=|b|<d(p+a+b,p+b)=|p+a+b-p-b|=|a|$

Отже, не існує норми $\|\cdot \|$, яка породжує французьку залізничну метрику в тому сенсі, що $\rho (x,\,y)=\|x-y\|$.

Назви при p = 0

Для норми $\|\cdot \|$ на $\mathbb {R} ^{2}$ метрикою французького метро називається метрика на $\mathbb {R} ^{2}$, що визначена як.:

$\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,\quad x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,\quad x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R}$

Іншими словами, метрика французького метро визначена як довжина найкоротшого шляху з точки x до точки y, якщо x, y і початок координат знаходяться на одній прямій, і довжина найкоротшого шляху з x до y, що проходить через початок координат, у протилежному випадку.

Метрика французького метро збігається з французькою залізничною метрикою в окремому випадку, коли Париж знаходиться у початку координат (p = 0).

Для евклідової норми $\|\cdot \|_{2}$ метрика французького метро називається також паризькою метрикою, метрикою їжака, радикальною метрикою або посиленою метрикою SNCF.

Метрика британської залізниці

Для норми $\|\cdot \|$ на $\mathbb {R} ^{2}$ (в загальному випадку на $\mathbb {R} ^{n}$) метрикою британської залізниці називається метрика на $\mathbb {R} ^{2}$ (на $\mathbb {R} ^{n}$), визначена як

$\|x\|+\|y\|$,

якщо $x\neq y$, і як 0 у протилежному випадку. Її називають також метрикою пошти (Post Office metric), метрикою гусениці і метрикою човника.

Іншими словами, у відповідності до метрики британської залізниці доводиться робити гак через початок координат завжди, якщо пункт відправлення не збігається з пунктом призначення.

У Великій Британії метрику британської залізниці (British Rail metric(англ.)) іноді називають метрикою французького метро.

Приклади

p	x	y	ФЗМ	МФМ	МБЗ
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6;5)$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	${\sqrt {45}}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	${\sqrt {10}}+5$	$3$	${\sqrt {45}}$
	$(0;3)$	$(6;5)$	${\sqrt {40}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
	$(5;12)$	$(12;5)$	${\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}$	$26$	$26$
	$(5;12)$	$(5;12)$	$0$	$0$	$0$

Див. також

• Манхеттенська метрика
• Відстань Чебишова