3D-проєкція

3D проєкція — це будь-який спосіб відображення тривимірних точок на двовимірній площині. Оскільки більшість сучасних методів для відображення графічних даних базуються на планарних (піксельна інформація з декількох бітових площин) двомірних середовищах, використання цього типу проєкції широко поширене, особливо в галузі комп'ютерної графіки, інженерії та креслення.

Ортогональна проєкція

Коли людське око дивиться на сцену, віддалені об'єкти виглядають меншими, ніж об'єкти поруч. Ортогональна проєкція нехтує цим ефектом, що дозволяє створювати креслення в масштабі для будівництва і машинобудування.

Ортогональна проєкція — це невеликий набір перетворень, який часто використовується, щоб показати профіль, деталі або точні розміри тривимірного об'єкта.

Якщо нормаль площини перегляду (напрямок камери) паралельна одній з координатних осей (тобто, $X$, $Y$ або осі $Z$), то математичне перетворення виглядає наступним чином; Для проєктування 3D-точки $a_{x}$, $a_{y}$, $a_{z}$ на 2D точку $b_{x}$, $b_{y}$ ортогональною проєкцією, яка паралельна осі Y (вид профілю), то можна використати наступні рівняння:

$b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}$

$b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}$

де вектор s — довільний масштабний коефіцієнт, а c являє собою довільне зміщення. Ці константи не є обов'язковими, і можуть бути використані, щоб правильно вирівняти вікно перегляду. При використанні матричного множення, рівняння мають такий вигляд:

${\begin{bmatrix}{b_{x}}\\{b_{y}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{s_{x}}&0&0\\0&0&{s_{z}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a_{x}}\\{a_{y}}\\{a_{z}}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{c_{x}}\\{c_{z}}\\\end{bmatrix}}$.

У той час як орфографічно проєктовані зображення являють собою тривимірну природу проєктованого об'єкта, вони не уявляють об'єкт, як це було б записано фотографічно або, як це сприймається глядачем, який безпосередньо спостерігає за ним. Зокрема, паралельні довжини у всіх точках на ортогонально проєктованому зображенні одного і того ж масштабу, незалежно від того, чи є вони далеко або близько до віртуального перегляду. В результаті, довжини біля до глядача не малюються в ракурсі, як вони б виглядали в перспективному проєктуванні.

Слабка перспективна проєкція

«Слабка» перспективна проєкція використовує ті ж принципи ортогональної проєкції, але вимагає коефіцієнт масштабування, який необхідно вказати, таким чином гарантуючи, що ближчі об'єкти здаються більшими в проєкції, і навпаки. Це можна розглядати як гібрид між ортогональною і перспективною проєкціями, і описується або як перспективна проєкція з окремими глибинами точки $Z_{i}$ заміненими середнім постійним глибини $Z_{ave}$, або просто як ортогональна проєкція з масштабуванням.

Таким чином, слабко-перспективна модель апроксимує перспективну проєкцію, використовуючи простішу модель, схожу на чисту (немасштабовану) ортогональну проєкцію. Це розумне зближення, коли глибина об'єкта уздовж лінії візування мала в порівнянні з відстанню від камери, а поле зору маленьке. При цих умовах можна припустити, що всі точки на 3D-об'єкті знаходяться на однаковій відстані $Z_{ave}$ від камери, без суттєвих помилок у проєкції (в порівнянні з повною перспективною моделлю).

Перспективна проєкція

Коли людське око бачить сцену, об'єкти на відстані здаються менше, ніж об'єкти поруч — це відомо як перспектива. У той час як ортогональна проєкція ігнорує цей ефект, щоб дозволити точні вимірювання, перспективна проєкція показує, що віддалені об'єкти менше, щоб забезпечити додатковий реалізм.

Перспективна проєкція вимагає більш активну участь визначення в порівнянні з ортогональною проєкцією. Концептуальною допомогою у розумінні механіки цієї проєкції є уявлення 2D проєкції, ніби об'єкт або об'єкти в цей час розглядається через видошукач камери. Положення камери, орієнтація і поле зору управління поведінкою перетворення проєкції. Наступні змінні визначені для опису цієї трансформації:

• $\mathbf {a} _{x,y,z}$ — 3D-положення точки $A$, яка повинна бути спроєктована.
• $\mathbf {c} _{x,y,z}$ — 3D-положення точки $C$, що представляє камеру.
• $\mathbf {\theta } _{x,y,z}$ — орієнтація камери (представлена кутами Ейлера).
• $\mathbf {e} _{x,y,z}$ — глядацьке положення щодо поверхні дисплея яка проходить через точку $C$, яка представляє камеру.

Що призводить до:

• $\mathbf {b} _{x,y}$ — 2D-проєкція $\mathbf {a}$.

Коли $\mathbf {c} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,$ та $\mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,$ 3D-вектор $\langle 1,2,0\rangle$ проєктується на 2D вектор $\langle 1,2\rangle$.

В іншому випадку, для обчислення $\mathbf {b} _{x,y}$ ми спочатку визначимо вектор $\mathbf {d} _{x,y,z}$ як положення точки $A$ стосовно системи координат, визначеній камерою, з початком в $C$, і повернутої на $\mathbf {\theta }$ відносно початкової системи координат. Це досягається шляхом віднімання матриці $C$ з $A$ і потім застосування обертання по $-\mathbf {\theta }$. Це перетворення часто називають перетворенням камери, і воно може бути виражене, висловлюючи обертання в термінах обертань навколо осей $X$, $Y$, і $Z$ (ці розрахунки мають на увазі те, що осі впорядковані як лівостороння система осей):

${\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos(\mathbf {-\theta } _{x})}&{-\sin(\mathbf {-\theta } _{x})}\\0&{\sin(\mathbf {-\theta } _{x})}&{\cos(\mathbf {-\theta } _{x})}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos(\mathbf {-\theta } _{y})}&0&{\sin(\mathbf {-\theta } _{y})}\\0&1&0\\{-\sin(\mathbf {-\theta } _{y})}&0&{\cos(\mathbf {-\theta } _{y})}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos(\mathbf {-\theta } _{z})}&{-\sin(\mathbf {-\theta } _{z})}&0\\{\sin(\mathbf {-\theta } _{z})}&{\cos(\mathbf {-\theta } _{z})}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)$

Це уявлення відповідає обертанню на три кута Ейлера, використовуючи конвенцію $XYZ$, яку можна інтерпретувати як «обертання навколо зовнішніх осей (осі сцени) в порядку $Z$, $Y$, $X$ (читання справа наліво)» або «поворот навколо власних осей (осі камери) в порядку $X$, $Y$, $Z$ (читання зліва-направо)». Зверніть увагу, що якщо камера не повертається ($\mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle$), то матриці випадають (як тотожності), і це зводиться до простого зрушення: $\mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {c} .$

Як альтернатива, без використання матриць:

${\begin{array}{lcl}\mathbf {d} _{x}=c_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} )-s_{y}\mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}=s_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))+c_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}=c_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))-s_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\\\end{array}}$

(де $\mathbf {x}$ = $a_{x}-c_{x}$ і т. д., $c_{\alpha }$ = $\cos \left(\theta _{\alpha }\right)$, $s_{\alpha }$ = $\sin \left(\theta _{\alpha }\right)$).

Це перетворення точки потім може проєктуватися на 2D площині, використовуючи формулу (тут x/у, використовується як площина проєкції; у літературі також може використовуватися x/z):

${\begin{array}{lcl}\mathbf {b} _{x}&=&{\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{x}-\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {b} _{y}&=&{\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}-\mathbf {e} _{y}\\\end{array}}.$

Або в матричній формі з використанням однорідних координат, система

${\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{z}\\\mathbf {f} _{w}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}&0\\0&1&-{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}&0\\0&0&1&0\\0&0&1/\mathbf {e} _{z}&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\\1\\\end{bmatrix}}$

в поєднанні з аргументами, використання подібних трикутників призводить до поділу однорідними координатами, даючи

${\begin{array}{lcl}\mathbf {b} _{x}&=&\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=&\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\\\end{array}}.$

Відстань від поверхні дисплея до глядача, $\mathbf {e} _{z}$, безпосередньо пов'язана з полем зору, де $\alpha =2\cdot \tan ^{-1}(1/\mathbf {e} _{z})$ це розглянутий кут.

Наведені вище рівняння можна переписати таким чином:

${\begin{array}{lcl}\mathbf {b} _{x}=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z}\\\mathbf {b} _{y}=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _{y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}\\\end{array}}.$

В якому $\mathbf {s} _{x,y}$ — розмір дисплея, $\mathbf {r} _{x,y}$ — розмір робочої поверхні диска (наприклад CCD), $\mathbf {r} _{z}$ відстань від поверхні запису центру камери, та $\mathbf {d} _{z}$ це відстань, від 3D точки проєктування, до ока користувача.

Подальші операції відсікання і масштабування можуть бути необхідними для відображення 2D площини на будь-якому дисплеї.

Схема

Для того, щоб визначити, який x-координатний екран відповідає точці, в $A_{x},A_{z}$ помножимо координати точки на:

$B_{x}=A_{x}{\frac {B_{z}}{A_{z}}}$

де

$B_{x}$ x координата екрана.

$A_{x}$ x координата моделі.

$B_{z}$ фокусна відстань — осьова відстань від центра камери до площини зображення.

$A_{z}$ це відстань до об'єкта.

Посилання

• A case study in camera projection
• Creating 3D Environments from Digital Photographs