Евклід

Евклід

Евклі́д (грец. Ευκλείδης; бл. 365 — бл. 300 до н. е.) — старогрецький математик і визнаний основоположник математики.

Відомості про життя

Родом з Афін, був учнем Платона. Автор найдавніших трактатів з математики, що дійшли до сьогодення. В них підсумовано досягнення давньогрецької математики. Наукова діяльність Евкліда проходила в Александрійській бібліотеці – суспільній інституції, що являла собою бібліотечний, науковий, навчальний, інформаційно-аналітичний, і культурологічний комплекс.

Основна праця Евкліда «Начала» (латинізована назва «Елементи») включає в себе 15 книжок, у яких міститься систематизований виклад геометрії, а також деяких питань теорії чисел.

«Начала» відіграли винятково важливу роль у подальшому розвитку математичної науки. Історичне значення цієї праці полягає в тому, що в ній уперше здійснено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики.

«Начала» Евкліда витримали понад 500 перевидань усіма мовами світу. Мав також роботи з астрономії, оптики, теорії музики.

«Начала» Евкліда

Ватиканський манускрипт, т.1, 38v - 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Піфагора)

Основний твір Евкліда називається «Начала». Книги з такою ж назвою, в яких послідовно викладалися всі основні факти геометрії і теоретичної арифметики, складалися раніше Гіппократом Хіосським, Леонтом і Февдієм. Проте «Начала» Евкліда витіснили всі ці твори з ужитку і протягом більш ніж двох тисячоліть залишалися базовим підручником геометрії. Створюючи свій підручник, Евклід включив в нього багато з того, що було створене його попередниками, обробивши цей матеріал і звівши його воєдино.

«Начала» складаються з тринадцяти книг. Перша і деякі інші книги передують списком визначень. Першій книзі передує також список постулатів і аксіом. Як правило, постулати задають базові побудови (наприклад, «потрібно, щоб через будь-які дві точки можна було провести пряму»), а аксіоми — загальні правила виведення при операції з величинами (наприклад, «якщо дві величини дорівнють третій, вони рівні між собою»). З сучасної точки зору, різниці між постулатами і аксіомами нема.

У I книзі вивчаються властивості трикутників і паралелограмів; цю книгу вінчає знаменита теорема Піфагора для прямокутних трикутників. Книга II, виходить від піфагорійців, присвячена так званій «геометричній алгебрі». У III і IV книгах висловлюється геометрія кіл, а також вписаних і описаних багатокутників; при роботі над цими книгами Евклід міг скористатися творами Гіппократа Хіосського. У V книзі вводиться загальна теорія пропорцій, побудована Евдоксом Кнідським, а в VI книзі вона додається до теорії подібних фігур. VII–IX книги присвячені теорії чисел і знов посилаються до піфагорійців; автором VIII книги, можливо, був Архіт Тарентський. У цих книгах розглядаються теореми про пропорції і геометричні прогресії, вводиться метод для знаходження найбільшого загального дільника двох чисел (відомий нині як алгоритм Евкліда), будується парні довершені числа, доводиться нескінченність множини простих чисел. У X книзі, що є найоб'ємнішою і найскладнішою частиною «Начал», будується класифікація іррациональностей; можливо, що її автором є Теєтет Афінський. XI книга містить основи стереометрії. У XII книзі за допомогою методу вичерпання доводяться теореми про співвідношення площ кіл, а також об'ємів пірамід і конусів; автором цієї книги за загальним визнанням є Евдокс Кнідський. Нарешті, XIII книгу присвячено побудові п'яти правильних багатогранників; вважається, що частина побудов була розроблена Теєтетом Афінським.

У рукописах, що дійшли до нас, до цих тринадцяти книг додані ще дві. XIV книга належить александрійцу Гипсиклу (біля 200 р. до н.е.), а XV книгу створено під час життя Ісідора Мілетського, будівельника храму св. Софії в Константинополі (початок VI в. н. е.).

«Начала» надають загальну основу для подальших геометричних трактатів Архімеда, Аполлонія і інших античних авторів; доведені в них припущення вважаються загальновідомими. Коментарі до «Начал» в античності складали Герон, Порфирій, Папп, Прокл, Симплікій. Зберігся коментар Прокла до I книги, а також коментар Паппа до X книги (у арабському перекладі). Від античних авторів коментаторська традиція переходить до арабів, а потім і до Середньовічної Європи.

У створенні і розвитку науки Нового часу «Начала» також зіграли важливу ідейну роль. Вони залишалися зразком математичного трактату, що строго і систематично висловлює основні положення тієї або іншої математичної науки.

Інші твори Евкліда

З інших творів Евкліда збереглися:

• Дані (δεδομένα) — про те, що необхідне, щоб задати фігуру;
• Про розділення (περὶ διαιρέσεων) — збереглося частково і лише в арабському перекладі; дає ділення геометричних фігур на частини, рівні або в заданому відношенні між собою;
• Явища (φαινόμενα) — застосування сферичної геометрії до астрономії;
• Оптика (ὀπτικά) — про прямолінійне розповсюдження світла.

По коротких описах відомі:

• Порізми (πορίσματα) — про умови, що визначають криві;
• Конічні перетини (κωνικά);
• Поверхневі місця (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) — про властивості конічних перетинів;
• Псевдарія (ψευδαρία) — про помилки в геометричних доказах;
• Начала музики (κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις).

Евкліду приписуються також:

• Катоптрика (κατοπτρικά) — теорія дзеркал; збереглася обробка Теона Александрійського;
• Ділення канону (κατατομὴ κανόνος) — трактат з математичних основ музичної теорії, велика частина якого створена Архитом Тарентським. /[Пер. А. И. Щетникова] опублікований в кн. «Піфагорійська гармонія: дослідження і тексти». Новосибірськ: АНТ, 2005, с. 81-96.

Названі на честь Евкліда

• Евклідова геометрія
• Алгоритм Евкліда

Література

Бібліографія

• Max Steck. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der «Elemente» des Euklid (um 365—300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.

Сучасні видання творів Евкліда

• Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. М.: ГТТИ, 1949-50.

• Книги I—VI на www.math.ru или на mccme.ru
• Книги VII—X на www.math.ru или на mccme.ru
• Книги XI—XIV на www.math.ru или на mccme.ru

• Euclidus Opera Ominia. Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. 9 vols. Leipzig: Teubner, 1883—1916.

• Vol. I—IX на www.wilbourhall.org

• Heath T. L. The thirteen books of Euclid’s Elements. 3 vols. Cambridge UP, 1925. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg), English (ed. Th. L. Heath)
• Euclide. Les éléments. 4 vols. Trad. et comm. B. Vitrac; intr. M. Caveing. P.: Presses universitaires de France, 1990—2001.

Античні коментарі

• Прокл Диадох. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Пер. и комм. Ю. А. Шичалина. М.: ГЛК, 1994.
• Thompson W. Pappus’ commentary on Euclid’s Elements. Cambridge, 1930.

Про Начала Евкліда

• Алимов Н. Г. Величина и отношение у Евклида. Историко-математические исследования, вып. 8, 1955, с. 573—619.
• Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 296—328.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959.
• Выгодский М. Я. «Начала» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 217—295.
• Каган В. Ф. Евклид, его продолжатели и комментаторы. В кн.: Каган В. Ф. Основания геометрии. Ч. 1. М., 1949, с. 28-110.
• Раик А. Е. Десятая книга «Начал» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 343—384.
• Родин А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003.
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
• Щетников А. И. Вторая книга «Начал» Евклида: её математическое содержание и структура. Историко-математические исследования, вып. 12(47), 2007, с. 166—187.
• Щетников А. И. Сочинения Платона и Аристотеля как свидетельства о становлении системы математических определений и аксиом. ΣΧΟΛΗ, вып. 1, 2007, c. 172—194.
• Artmann B. Euclid’s «Elements» and its prehistory. Apeiron, v. 24, 1991, p. 1-47.
• Brooker M.I.H., Connors J. R., Slee A. V. Euclid. CD-ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997.
• Burton H.E. The optics of Euclid. J. Opt. Soc. Amer., v. 35, 1945, p. 357—372.
• Itard J. Lex livres arithmetiqués d’Euclide. P.: Hermann, 1961.
• Fowler D.H. An invitation to read Book X of Euclid’s Elements. Historia Mathematica, v. 19, 1992, p. 233—265.
• Knorr W.R. The evolution of the Euclidean Elements. Dordrecht: Reidel, 1975.
• Mueller I. Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid’s Elements. Cambridge (Mass.), MIT Press, 1981.
• Schreiber P. Euklid. Leipzig: Teubner, 1987.
• Seidenberg A. Did Euclid’s Elements, Book I, develop geometry axiomatically? Archive for History of Exact Sciences, v. 14, 1975, p. 263—295.
• Taisbak C.M. Division and logos. A theory of equivalent couples and sets of integers, propounded by Euclid in the arithmetical books of the Elements. Odense UP, 1982.
• Taisbak C.M. Colored quadrangles. A guide to the tenth book of Euclid’s Elements. Copenhagen, Museum Tusculanum Press, 1982.
• Tannery P. La géometrié grecque. Paris: Gauthier-Villars, 1887.

Про інші твори Евкліда

• Зверкина Г. А. Обзор трактата Евклида «Данные». Математика и практика, математика и культура. М., 2000, с. 174—192.
• Ильина Е. А. О «Данных» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 7(42), 2002, с. 201—208.
• Berggren J.L., Thomas R.S.D. Euclid’s Phaenomena: a translation and study of a Hellenistic treatise in spherical astronomy. NY, Garland, 1996.
• Schmidt R. Euclid’s Recipients, commonly called the Data. Golden Hind Press, 1988.

• С. Кутателадзе Апология Евклида