Паралелограм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Паралелограм
Parallelogram.svg
Цей паралелограм є ромбоїдом, оскільки він не має прямих кутів і його сторони не рівні.
Вид Чотирикутник
Ребра і вершини 4
Група симетрії[en] C2, [2]+, (22)
Площа b × h (основа × висота);
ab sin θ (добуток прилеглих сторін на синус кута при будь-якій вершині)
Властивості опуклий

Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Існує декілька окремих видів паралелограма:

  • Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
  • Ромб — паралелограм, всі чотири сторони якого рівні між собою;
  • Квадрат — рівнобічний прямокутник або ромб з прямими кутами при вершинах.

Паралелограм є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є паралелепіпед.

Особливі випадки[ред. | ред. код]

  • Ромбоїд – чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні, а прилеглі сторони не рівні, а його кути не є прямими кутами.
  • Прямокутник – паралелограм, чотири кути якого рівні (прямі).
  • Ромб – паралелограм, чотири сторони якого є рівними.
  • Квадрат – паралелограм, чотири сторони і чотири кути якого є рівними.

Ознаки паралелограма[ред. | ред. код]

Простий (не перехрещений) чотирикутник є паралелограмом тоді й лише тоді якщо одне із наведених нижче тверджень є вірним:[1][2]

  • Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто та .
  • Протилежні кути паралелограма рівні, тобто та .
  • Діагоналі паралелограма перетинаються та точкою перетину діляться навпіл.
  • Одна пара протилежних сторін є паралельними і мають однакову довжину.
  • Кожна з діагоналей поділяє чотирикутник на два конгруентні трикутники.
  • Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює . Загальна сума кутів паралелограма дорівнює .
  • Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін (правило паралелограма).
  • Сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки до сторін не залежить від місця розташування точки.[3] (Це твердження є продовженням теореми Вівіані.)

Інші властивості[ред. | ред. код]

  • В чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні.
  • В чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні.
  • В чотирикутнику протилежні кути попарно рівні.
  • Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
  • Будь-яка пряма, яка проходить через центр паралелограма поділяє його площу навпіл.[4]
  • Сума кутів при кожній стороні становить .
  • В чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
  • Діагоналі паралелограма поділяють його на чотири трикутника однакової площі.

Площа паралелограма[ред. | ред. код]

Малюнок показує як паралелограм можна перебудувати у фігуру прямокутника
Паралелограм можна перебудувати у прямокутник з такою ж площею.
Анімація для формули визначення площі .

Паралелограм із основою b і висотою h можна розділити на трапецію і прямокутний трикутник, і перебудувати у прямокутник, як показано на малюнку праворуч. Це означає, що площа паралелограма є такою ж як у прямокутника із такою ж основою і висотою:

Іншими словами, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

.

Площа паралелограма, це площа внутрішньої області, що виділена синім і визначається як :, де B і C — сторони паралелограма.

Також площа паралелограма рівна добутку двох його непаралельних сторін та синуса кута між ними:

Якщо розглядати паралелограм як геометричну фігуру, яка побудована на двох векторах та , то площа паралелограма буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів:

Площа паралелограма (як і будь-якого чотирикутника без самоперетинів) рівна півдобутку діагоналей, помноженому на синус кута між ними: .

Площа паралелограма із сторонами B і C (BC) і кутом утвореним перетином діагоналей дорівнює наступному[5]

Якщо паралелограм заданий довжинами B і C двох прилеглих сторін і довжиною однієї з діагоналей D1, тоді площу можна знайти за допомогою формули Герона. Що задається наступним чином

де і перший множник 2 додано оскільки, будь-яка обрана діагональ поділяє паралелограм на два конгруентні трикутники.

Площа паралелограма при відомих декартових координатах вершин[ред. | ред. код]

Нехай існують вектори і нехай позначає матрицю елементів a і b. Тоді площею паралелограма, що заданий за допомогою a і b буде .

Нехай існують вектори і нехай . тоді площа паралелограма, що задана за допомогою a і b буде дорівнювати .

Нехай існують точки . Тоді площа паралелограма із вершинами в точках a, b і c є еквівалентною абсолютному значенню детермінанта матриці, що побудована так, що a, b і c є її рядками і остання колонка доповнена одиницями, як наведено нижче:

Доведення, що діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл[ред. | ред. код]

Паралелограм ABCD

Аби довести, що діагоналі паралелограма перетинаються, використаємо конгруентні трикутники:

(внутрішні різносторонні кути рівні за розміром)
(внутрішні різносторонні кути рівні за розміром).

(оскільки це кути, що утворені перетином прямої із двома паралельними прямими AB і DC).

Також, сторона AB має таку ж саму довжину, що і сторона DC, оскільки протилежні сторони паралелограма є рівними.

Таким чином, трикутники ABE і CDE конгруентні (постулат Кут-Сторона-Кут (КСК), два відповідні кути і прилегла сторона).

Тому,

Оскільки діагоналі AC і BD поділяють одна одну на відрізки однакової довжини, діагоналі перетинають одна одну.

Відповідно, оскільки діагоналі AC і BD перетинають одна одну в точці E, точка E є серединою кожної діагоналі.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.
  2. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 22.
  3. Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
  4. Dunn, J.A., and J.E. Pretty, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
  5. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.

Посилання[ред. | ред. код]

  • Eric W. Weisstein, Parallelogram at MathWorld.
  • Геометрія: Підруч. для 7— 9 кл. серед. шк./ Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін. — К.: Освіта, 1993. — 304 с.