Паралелограм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Паралелограм

Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Існує декілька окремих видів паралелограма:

  • Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
  • Ромб — паралелограм, всі чотири сторони якого рівні між собою;
  • Квадрат — рівнобічний прямокутник або ромб з прямими кутами при вершинах.

Паралелограм є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є паралелепіпед.

Особливі випадки[ред.ред. код]

  • Ромбоїд – чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні, а прилеглі сторони не рівні, а його кути не є прямими кутами
  • Прямокутник – паралелограм із чотирма рівними кутами (прямими).
  • Ромб – паралелограм, чотири сторони якого є рівними.
  • Квадрат – паралелограм чотири сторони і чотири кути якого є рівними.

Властивості паралелограма[ред.ред. код]

  • Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто та .
  • Протилежні кути паралелограма рівні, тобто та .
  • Діагоналі паралелограма перетинаються та точкою перетину діляться навпіл.
  • Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
  • Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює . Загальна сума кутів паралелограма дорівнює .
  • Паралелограм діагоналлю ділиться на два рівні трикутники.
  • Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєнній сумі квадратів двох його суміжних сторін (правило паралелограма).

Ознаки паралелограма[ред.ред. код]

Чотирикутник є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов (в цьому випадку всі інші також виконуються):

  • В чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні.
  • В чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні.
  • В чотирикутнику протилежні кути попарно рівні.
  • Сума кутів при кожній стороні становить .
  • В чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Площа паралелограма[ред.ред. код]

Малюнок показує як паралелограм можна перебудувати у фігуру прямокутника
Паралелограм можна перебудувати у прямокутник з такою ж площею.
Анімація для формули визначення площі .

Паралелограм із основою b і висотою h можна розділити на трапецію і прямокутний трикутник, і перебудувати у прямокутник, як показано на малюнку праворуч. Це означає, що площа паралелограма є такою ж як у прямокутника із такою ж основою і висотою:

Іншими словами, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

.

Площа паралелограма, це площа внутрішньої області, що виділена синім і визначається як :, де B і C — сторони паралелограма.

Також площа паралелограма рівна добутку двох його непаралельних сторін та синуса кута між ними:

Якщо розглядати паралелограм як геометричну фігуру, яка побудована на двох векторах та , то площа паралелограма буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів:

Площа паралелограма (як і будь-якого чотирикутника без самоперетинів) рівна півдобутку діагоналей, помноженому на синус кута між ними: .

Площа паралелограма із сторонами B і C (BC) і кутом утвореним перетином діагоналей дорівнює наступному[1]

Якщо паралелограм заданий довжинами B і C двох прилеглих сторін і довжиною однієї з діагоналей D1, тоді площу можна знайти за допомогою формули Герона. Що задається наступним чином

де і перший множник 2 додано оскільки, будь-яка обрана діагональ поділяє паралелограм на два конгруентні трикутники.

Площа паралелограма при відомих декартових координатах вершин[ред.ред. код]

Нехай існують вектори і нехай позначає матрицю елементів a і b. Тоді площею паралелограма, що заданий за допомогою a і b буде .

Нехай існують вектори і нехай . тоді площа паралелограма, що задана за допомогою a і b буде дорівнювати .

Нехай існують точки . Тоді площа паралелограма із вершинами в точках a, b і c є еквівалентною абсолютному значенню детермінанта матриці, що побудована так, що a, b і c є її рядками і остання колонка доповнена одиницями, як наведено нижче:

Доведення, що діагоналі паралелограма перетинаються[ред.ред. код]

Паралелограм ABCD

Аби довести, що діагоналі паралелограма перетинаються, використаємо конгруентні трикутники:

(обопільні внутрішні кути є однакові за розміром)
(обопільні внутрішні кути є однакові за розміром).

(оскільки це кути, що утворені перетином прямої із двома паралельними прямими AB і DC).

Також, сторона AB має таку ж саму довжину що і сторона DC, оскільки протилежні сторони паралелограма є рівними.

Таким чином, трикутники ABE і CDE are congruent (постулат Кут-Сторона-Кут (КСК), два відповідні кути і прилегла сторона).

Тому,

Оскільки діагоналі AC і BD поділяють одна одну на відрізки однакової довжини, діагоналі перетинають одна одну.

Відповідно, оскільки діагоналі AC і BD перетинають одна одну в точці E, точка E є серединою кожної діагоналі.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  • Eric W. Weisstein, Parallelogram at MathWorld.
  • Геометрія: Підруч. для 7— 9 кл. серед. шк./ Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін. — К.: Освіта, 1993. — 304 с.
    • Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.