Дужки Пуассона

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

$\{\varphi ,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right),$

де $\varphi$ й $g$ — будь-які функції узагальнених координат $q_{i}$ та узагальнених імпульсів $p_{i}$, $N$ — кількість ступенів свободи системи.

Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

Властивості

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

$\{\alpha f+\beta g,h\}=\alpha \{f,h\}+\beta \{g,h\}$

${\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\}+\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\}$

$\{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}$

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$ — тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних $Q_{1},...,P_{N}$

$\{\varphi ,g\}=\sum _{i}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial P_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial Q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial Q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial P_{i}}}\right),$

Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

$\{f,q_{i}\}={\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}$

$\{p_{i},g\}={\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}$

Якщо замінити і другу функцію

$\{q_{j},q_{i}\}=\{p_{j},p_{i}\}=0$

$\{p_{j},q_{i}\}=\delta _{ji}$

Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних $q_{1},...,p_{N}$

Кожен інтеграл руху $\psi$ повинен задовільняти рівнянню

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\{\psi ,H\}=0$.

У випадку, коли $\psi$ не залежить від часу явно,

$\{H,\psi \}=0$

Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі $\rho$ повинна задовільняти рівнянню Ліувілля

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\{\rho ,H\}=0$.

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Інтеграл руху
• Дужки Лагранжа

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. с. 516.(укр.)
• Іро Гаральд. Класична механіка = Klassische Mechanik. — Львів : ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с. — ISBN 966-613-013-0.
• Володимир Ігорович Арнольд. Звичайні диференціальні рівняння. — 2026. — 394 с.(укр.)