Механіка Гамільтона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка

Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки[en]

Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Функція Гамільтона[ред.ред. код]

Функція Гамільтона визначається через узагальнені координати і узагальнені імпульси виходячи з функції Лагранжа наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

.


Функція Гамільтона визначається згідно з

.

Після цього всі узагальнені швидкості d виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона[ред.ред. код]

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

,
.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Практичні використання[ред.ред. код]

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі[ред.ред. код]

Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):

де -- заряд частинки, електростатичний потенціал, -- векторний потенціал.

В релятивістському випадку:

.

Функція Гамільтона в теорії відносності[ред.ред. код]

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа (див. "Механіку" Ландау):

Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

.

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

Використання у квантовій механіці[ред.ред. код]

У квантовій механіці оператор енергії будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів на оператори імпульсу , де -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінгера.

Механічний осцилятор[ред.ред. код]

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:

де коефіцієнт жорсткості, а маса тіла.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

,

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

,

Звідси можна отримати рівняння руху:

.

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

де амплітуда коливань, циклічна частота, а період.

Електричний осцилятор[ред.ред. код]

Для класичного контура функція Гамільтона має вигляд:

де "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

де амплітудне значення заряду, циклічна частота, а період коливань.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
  • тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М. : Наука, 1974. — 224 с.