Механіка Гамільтона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Функція Гамільтона[ред.ред. код]

Функція Гамільтона  \mathcal{H}(q_i,p_i, t) \, визначається через узагальнені координати  q_i \, і узагальнені імпульси  p_i \, виходячи з функції Лагранжа  \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i, t) \, наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

 p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} .


Функція Гамільтона визначається згідно з

 \mathcal{H} = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} 
- \mathcal{L} 
.

Після цього всі узагальнені швидкості  \dot{q}_i d  \mathcal{H} виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

 \mathcal{H} = T + V \,,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона[ред.ред. код]

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

 \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} ,
 \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} .

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Практичні використання[ред.ред. код]

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі[ред.ред. код]

Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):

 \mathcal{H} = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A}/c)^2}{2m} +e\varphi

де  e -- заряд частинки,  \varphi електростатичний потенціал,  \mathbf{A} -- векторний потенціал.

В релятивістському випадку:

 \mathcal{H} = c\sqrt{m^2c^2 + (\mathbf{p} - e\mathbf{A}/c)^2} +e\varphi .

Функція Гамільтона в теорії відносності[ред.ред. код]

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа \mathcal{L} (див. "Механіку" Ландау):

\mathcal{H} = \mathbf{v}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} - \mathcal{L} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

\mathcal{H}^2 = c^2(p^2 + m^2c^2) ,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

\mathcal{H} = c\sqrt{p^2 + mc^2} .

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

Використання у квантовій механіці[ред.ред. код]

У квантовій механіці оператор енергії  \hat{H} будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів  p_i на оператори імпульсу  -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i} , де  \hbar -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінгера.

Механічний осцилятор[ред.ред. код]

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:

\mathcal{H}(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2}= \frac{m\dot x^2}{2} + \frac{kx^2}{2}

де k - коефіцієнт жорсткості, а m - маса тіла.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

\frac{dx}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} = \frac{p}{m},

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} = -kx ,

Звідси можна отримати рівняння руху:

m\ddot x + kx = 0 .

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

S = -\int_{0}^{T} \mathcal{H}(x,p,t)\, dt = \frac{1}{2}ma^2\omega ^2T,

де a - амплітуда коливань, \omega = \sqrt{k/m} - циклічна частота, а T = 2\pi /\omega - період.

Електричний осцилятор[ред.ред. код]

Для класичного LC - контура функція Гамільтона має вигляд:

\mathcal{H}(q,p_M,t) = \frac{p_M^2}{2L} + \frac{q^2}{2C}

де p_M = L\dot q - "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

S = -\int_{0}^{T} \mathcal{H}(x,p_M,t)\, dt = \frac{1}{2}Lq_0^2\omega ^2T,

де q_0 - амплітудне значення заряду, \omega = \sqrt{1/LC} - циклічна частота, а T = 2\pi/\omega - \ період коливань.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
  • тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М.: Наука, 1974. — 224 с.