У математиці еліптичні функції Абеля — це частинний випадок еліптичних функцій, які були дослідженні норвезьким математиком Нільсом Генріком Абелем. Свою статтю "Recherches sur les Fonctions elliptiques" він опублікував у журналі Крейля[en] у 1827 році.[1] Це була перша робота з еліптичних функцій, яка була дійсно опублікована.[2] Робота Абеля про еліптичні функції також вплинула на дослідження Якобі про еліптичні функції, книга "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum[en]" якого, опублікована в 1829 році, стала стандартною роботою з еліптичних функцій.[3]
Відправною точкою Абеля були еліптичні інтеграли, які були дуже детально вивчені Андрієм-Марі Ленджанром. Він почав свої дослідження в 1823 році, коли був іще студентом. Зокрема, він розглядав їх як функції комплексної змінної, які на той час були ще в зародковому стані. У наступні роки Абель продовжував досліджувати ці функції. Він також намагався узагальнити їх на функції з іще більшою кількістю періодів, але, здається, не поспішав публікувати свої результати.
Але на початку 1827 року він написав свою першу велику статтю "Recherches sur les fonctions elliptiques" про свої відкриття.[4] Наприкінці того ж року йому стало відомо про Карла Густава Якобі та його роботи про нові перетворення еліптичних інтегралів. Потім Абель завершив другу частину своєї статті про еліптичні функції і в додатку показав як легко отримати результати про перетворення Якобі.[5][3] Коли він пізніше побачив наступну публікацію Якобі, де той використовує еліптичні функції для доведення своїх результатів, не цитуючи Абеля, то норвезький математик зрозумів, що веде боротьбу з Якобі за пріоритет. Він завершує декілька нових статей щодо суміжних проблем, тепер вперше датуючи їх, але помирає менше ніж через рік, у 1829 році.[6] Тим часом Якобі завершує свою велику роботу Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum[en] про еліптичні функції, яка публікується у цьому ж році у вигляді книги. У підсумку це визначило стандартний вигляд еліптичних функцій у наступні роки.[6]
Періодичність функцій , та можна показати за допомогою багатократного використання теорем додавання.
Усі три функції є подвійно періодичними, тобто мають два -лінійно незалежні періоди на комплексній площині:[9]
↑ абвHouzel, Christian; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002(нім.), Berlin: Springer, с. 107, ISBN3-540-43826-2
↑Houzel, Christian; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002(нім.), Berlin: Springer, с. 108, ISBN3-540-43826-2
↑Houzel, Christian; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002(нім.), Berlin: Springer, с. 109, ISBN3-540-43826-2
Christian Houzel, The Work of Niels Henrik Abel, in O.A. Laudal and R. Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel – The Abel Bicentennial, Oslo 2002, Springer Verlag, Berlin (2004). ISBN 3-540-43826-2.