Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Деякі траєкторії руху частки в одномірному ящику згідно з механікою Ньютона (A), та згідно з рівнянням Шредінгера та квантовою механікою (B-F). У випадку (B-F), горизонтальна вісь відображає позицію частки, а вертикальні осі - реальну частину (голубі) та уявну частину (червоні) хвильової функції. Стани (B,C,D) відображають енергетичні стани, проте (E,F) - ні.

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі - задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямокутної форми та з нескінченно високими стінками.

Задача знаходження стаціонарних станів руху частки маси в зовнішньому потенціальному полі зводиться до знаходження власних значень оператора енергії, тобто до розв'язку рівняння Шредінгера:


.


Це рівняння є лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Точні аналітичні розв'язки можуть бути знайдені тільки для деяких видів оператора потенційної енергії. Очевидно, що задача знаходження хвильових функцій рівняння Шредінгера у випадку прямокутної потенційної ями належить до найпростіших, і тому для неї можна знайти точні аналітичні розв'язки. В цьому випадку хвильова функція має розриви в точках стрибкоподібної зміни потенціальної енергії. Тому в цих точках необхідно проводити зшивання хвильових функцій, щоб забезпечити їх неперервність. Якщо енергія частки обмежена і стрибок потенційної енергії на поверхні розриву скінченний, то із рівняння Шредінгера випливає необхідність неперервності і на поверхні розриву. Таким чином, граничні умови на поверхні зі скінченним стрибком потенціалу зводяться до вимоги:

та неперервні на

Одновимірна прямокутна яма[ред.ред. код]

Розглянемо частинку, яка рухається в потенціальному полі прямокутної форми:

В цьому випадку рівняння Шредінгера зводиться до одновимірного рівняння:

.

В цьому випадку, внаслідок симетричного вибору системи координат, потенційна енергія та оператор Гамільтона інваріантні відносно перетворення інверсії , і тому всі стаціонарні стани відносяться або до станів позитивної парності, або до станів з негативною парністю. Такий вибір системи координат у значній мірі спрощує розв'язок задачі, оскільки досить знайти розв'язок тільки для області позитивних значень , тобто в області . Хвильові функції станів негативної парності повинні приймати нульове значення в точці ; для станів позитивної парності при повинна приймати нульове значення похідна хвильової функції по координаті.

Будемо відраховувати енергію відносно "дна" потенціальної ями, тоді енергія . Розглянемо значення енергії . Нехай далі:

Тоді одновимірне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:

Скінченні розв'язки при можна записати у вигляді

.

А розв'язки , які відповідають станам позитивної парності, будуть:

.

Для станів негативної парності маємо:

Розглянемо спершу стани позитивної парності. Із умови неперервності та в точці випливає два однорідних рівняння для визначення та :

Ця система рівнянь має відмінні від нуля розв'язки тільки при умові:

.

Оскільки тангенс є періодична функція із періодом , то це рівняння можна перетворити до вигляду:

де значення арксинуса необхідно брати в інтервалі . Останнє рівняння є трансцендентним по формі і визначальним для позитивних значень хвильового числа . Тому можливі рівні енергії, які відповідають станам з позитивною парністю. Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, то значення можуть лежати тільки в інтервалі . Значення , що задовольняють це рівняння при відповідають точкам перетину прямої та монотонно спадаючих кривих

.

Особливо простий вигляд мають розв'язки останнього рівняння для нескінченно великих значень (). У цьому разі

та де При цьому енергія частки

, непарне.

Хвильові функції . А хвильові функції всередині ями, нормовані умовою:

мають вигляд

, непарне.

Для станів з негативною парністю умови неперервності та у точках приводять до системи рівнянь:

Із умови розв'язності цієї системи рівнянь маємо:

Враховуючи періодичність котангенса, можна отримати рівняння, що за формою збігається з трансцендентним попереднім рівнянням. При воно визначає значення , які відповідають дискретним станам негативної парності.

Таким чином, дискретні рівні енергії частки в симетричній потенційній ямі виражаються формулою

, де визначаються точками перетину прямої та монотонно спадаючими функціями рівняння із арксинусом. Значення відповідають станам позитивної парності, а значення відповідають станам негативної парності.

Двовимірна прямокутна яма[ред.ред. код]

Тривимірна прямокутна яма[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]