Квантовий осцилятор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квантовий гармонічний осцилятор  — квантовий аналог класичного гармонічного осцилятора, при цьому розглядаються не сили, що діють на цю частинку, а її гамільтоніан, тобто повну енергію гармонічного осцилятора. При цьому потенціальна енергія вважається квадратично залежною від координат (як і у випадку класичного гармонічного осцилятора), а врахування доданків у її розкладі по координаті приводить до поняття не гармонічного осцилятора. Також це є одна із найважливіших моделей квантової механіки, що має точний розв'язок. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної ґратки.

Хвильові функції в координатному представленні перших шести станів, n = 0 … 5. По горизонталі відкладена координата x, а по вертикалі — значенння модуля ψ. Графіки не нормовані.
Хвильові функції для перших восьми енергій, n = 0 до 7. Горизонтальна вісь — відхилення x. Графіки не нормовані.

Класичний лінійний (одновимірний) гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

В класичній фізиці функція Гамільтона для лінійного (одновимірного) гармонічного осцилятора має вигляд

,

де - імпульс частинки, - її маса, - відхилення від положення рівноваги, а - власна циклічна частота осцилятора.

Необхідно відзначити, що гармонічний осцилятор є до деякої міри ідеалізацією, оскільки значення потенціальної енергії означає, що по мірі віддалення від положення рівноваги сила необмежено зростає. У всіх реальних випадках, починаючи з деяких значень амплітуди, починаються помітні відхилення від гармонічності, а при дуже великих відхиленнях — сила взаємодії прямує до нуля, а  — до постійної величини. Проте для невеликих амплітуд коливань цілком доречно користуватися поняттям гармонічного осцилятора.

Лінійний (одновимірний) квантовий гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

В квантовій механіці під лінійним квантовим гармонічним осцилятором (ЛКГО) розуміють систему, яка описується оператором Гамільтона, котрий можна подати у вигляді:

,

де - оператор імпульса, а - оператор координати. Відповідно до цього гамільтоніану рівняння Шредінгера в «х — представленні» для стаціонарних (основних) станів осцилятора має вигляд:

Для розв'язку цього рівняння можна ввести наступні безрозмірні величини:

Позначаючи диференцювання по штрихом та розглядаючи як функцію , після елементарних перетворень приводимо рівняння Шредінгера до канонічного вигляду:

Нам необхідно знайти скінченні, неперервні та однозначні розв'язки цього рівняння в інтервалі . Такі розв"язки мають місце не при всих значеннях параметра , а лише при: , при чому відповідні власні функції дорівнюють

.

Тут  — нормовані поліноми Ерміта - го порядку. При цьому, множник перед вибраний так, що функція є нормована по до 1:

.

Таким чином, одної вимоги неперервності та скінченності виявляється достатньо, щоб параметр набував лише дискретних значень. Проте, оскільки цей параметр визначає енергію, тому для неї будемо мати також дискретні значення :

Ця формула показує, що енергія осцилятора може приймати тільки дискретні значення. Число , яке визначає номер квантового рівня, називають головним квантовим числом. Енергетичні рівні квантового осцилятора еквідистантні, тобто відстань між двома сусідніми рівнями є сталою величиною, що дорівнює . Навіть в основному стані енергія осцилятора відмінна від нуля: . Нарешті можна записати власну функцію, яка відповідає - му значенню енергії в «»- представленні у вигляді:

Ці функції нормовані так, що . Користуючись наведеними вище формулами можна виписати декілька власних функцій у явному вигляді:

Перша функція не дорівнює нулю у всій області визначення, за виключенням граничних випадків . Друга функція дорівнює нулю при . Точку, де хвильова функція дорівнює нулю, можна назвати вузлом. Третя функція дорівнює нулю при і має таким чином, два вузли. Тут можна відмітити, що кількість вузлів хвильової функції дорівнює її номеру . Ця властивість справедлива для будь-якого значення . Таким чином, квантове число дорівнює числу вузлів власної функції. Ці функції зображені на верхньому малюнку. Вигляд функцій аналогічний вигляду функції , який показує коливання закріпленої на кінцях струни.

Щоб отримати ще повніше уявлення про квантові стани осцилятора, можна привести нижній малюнок для потенціальної функції осцилятора

.

Вздовж осі ординат відкладено потенційна енергія, а вздовж осі абсцис — відхилення .

Оператори народження та знищення[ред.ред. код]

Якщо визначити оператори народження та знищення як

,

то гамільтоніан квантового осцилятора можна записати так:

.

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані призводить до переходу в стан :

.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

Оператор

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

Правила відбору[ред.ред. код]

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою .

N-вимірний квантовий гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

Зв'язані гармонічні осцилятори[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1983. — 664 с.

Див. також[ред.ред. код]