Код Грея

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Фрагмент сторінки патента Грея

Код Ґрея — одна із систем кодування інформації, в якій два послідовні коди відрізняються значенням лише одного біта.

Загальні відомості[ред.ред. код]

Для кодування ознак можна скористатись найпростішим варіантом: двійковим значенням цієї ознаки. Тоді легко використовувати бітові рядки фіксованої довжини для подання всіх можливих значень цієї ознаки.

Наприклад, десяткові числа 7 і 8 можна легко закодувати у двійкові числа B(7)=011 і B(8)=100, використовуючи двійкову техніку. Проте, якщо ми хочемо переміститися з фенотипу 7 у фенотип 8, то повинні змінити всі три біти в їх зображенні від B(7)=011 до B(8)=100. Інакше кажучи, при роботі ГА необхідні три окремі дії для переміщення від розв'язку 7 до розв'язку 8, які призведуть до додаткових витрат часу. З іншого боку, якщо ми хочемо переміститися від розв'язку 7 до розв'язку 8, то нам необхідна лише одна операція. Це ускладнює використання ГА й погіршує його збіжність.

Щоб уникнути цього, краще використовувати кодування, в якому значення розрізняються на один біт. Таким є код Ґрея. Розглянемо принцип його побудови:

Десятковий Код Ґрея
0 0000
1 0001


нульовий розряд вичерпав свої ресурси (0,1)
ставиться «дзеркало» і від нього «відображаються» значення 0-го
розряду, але з одиницею в старшому розряді.


2 0011
3 0010


Так само і з рештою розрядів.


4 0110
5 0111
6 0101
7 0100


8 1100
9 1101

Використання[ред.ред. код]

Круговий енкодер з трибітним кодом Грея

Використання кодів Грея засновано насамперед на тому, що він мінімізує ефект помилок при перетворенні аналогових сигналів у цифрові (наприклад, у багатьох видах датчиків).

Коди Грея часто застосовуються в датчиках-енкодерах. Їх використання зручно тим, що два сусідніх значення шкали сигналу відрізняються лише в одному розряді. Також вони використовуються для кодування номера доріжок в твердих дисках.

Код Грея можна використовувати також і для вирішення задачі про Ханойські вежі. Широко застосовуються коди Грея і в теорії генетичних алгоритмів для кодування генетичних ознак, які представлені цілими числами. Код Грея використовується для генерації сполучень методом обертових дверей.

Алгоритми перетворення[ред.ред. код]

Перетворення двійкового коду в код Грея[ред.ред. код]

Коди Грея легко виходять з двійкових чисел шляхом побітової операції «виключне АБО» з тим же числом, зрушеним вправо на один біт. Отже, i-й біт коду Грея Gi виражається через біти двійкового коду Bi наступним чином:

де  — операція «виключне АБО»; біти нумеруються справа наліво, починаючи з молодшого. Нижче наведено алгоритм перетворення з двійкової системи числення в код Грея, записаний на мові C (мова програмування):

unsigned int grayencode(unsigned int g) 
{
    return g ^ (g >> 1);
}

Той же алгоритм, записаний на мові Pascal:

function BinToGray(b:integer):integer;
begin
  BinToGray:=b xor (b shr 1)
end;

Приклад: перетворити двійкове число 10110 в код Грея.

10110
01011
-----
11101

Перетворення коду Грея в двійковий код[ред.ред. код]

Зворотний алгоритм — перетворення коду Грея в двійковий код — можна виразити рекуррентной формулою

причому перетворення здійснюється побітно, починаючи зі старших розрядів, і значення Bi + 1, використовуване у формулі, обчислюється на попередньому кроці алгоритму. Дійсно, якщо підставити в цю формулу вищенаведене вираз для i-го біта коду Грея, отримаємо

Однак наведений алгоритм, пов'язаний з маніпуляцією окремими бітами, незручний для програмної реалізації, тому на практиці використовують видозмінений алгоритм:

де N — кількість бітів в коді Грея (для збільшення швидкодії алгоритму в якості N можна взяти номер старшого ненульового біта коду Грея); знак означає підсумовування за допомогою операції «виключне АБО», тобто

Дійсно, підставивши в формулу вираз для i-го біта коду Грея, отримаємо

Тут передбачається, що біт, що виходить за рамки розрядної сітки (), дорівнює нулю. Нижче приведена функція на мові С, що реалізує даний алгоритм. Вона здійснює послідовний зсув вправо і підсумовування вихідного двійкового числа, до тих пір, поки черговий зрушення не обнулить доданок.

unsigned int graydecode(unsigned int gray) 
{
    unsigned int bin;
    for (bin = 0; gray; gray >>= 1) {
      bin ^= gray;
    }
    return bin;
}

Той же самий алгоритм, записаний на мові Паскаль:

function GrayToBin(b:integer):integer;
 var g:integer;
begin
  g:=0;
  while b>0 do begin
    g:=g xor b;
    b:=b shr 1;
  end;
  GrayToBin:=g;
end;

Приклад: перетворити код Грея 11101 в двійковий код.

11101
01110
00111
00011
00001
-----
10110

Швидке перетворення 8/16/24/32-разрядного значення коду Грея в двійковий код на мові BlitzBasic:

Function GRAY_2_BIN%(X%)
Return X Xor ((X And $88888888) Shr 4) Xor ((X And $CCCCCCCC) Shr 2) Xor ((X And $EEEEEEEE) Shr 1)
End Function

Генерація кода Грея[ред.ред. код]

Код Грея для n біт може бути рекурсивно побудований на основі коду для n-1 біт шляхом перевертання списку біт (тобто записуванням кодів у зворотному порядку), конкатенації вихідного і перевернутого списків, дописування нулів на початку кожного коду у вихідному списку та одиниць — у початок кодів в перевернутому списку. Так, для генерації списку для n = 3 біт на підставі кодів для двох біт необхідно виконати наступні кроки:

Коди для n = 2 біт: 00, 01, 11, 10
Перевернутий список кодів: 10, 11, 01, 00
Об'єднаний список: 00, 01, 11, 10 10, 11, 01, 00
До початкового списку дописані нулі: 000, 001, 011, 010 10, 11, 01, 00
До перевернутого списку дописані одиниці: 000, 001, 011, 010 110, 111, 101, 100

Нижче представлений один з алгоритмів створення послідовності коду Грея заданої глибини, записаний на мові Perl:

  my $depth = 16; # generate 16 Gray codes, 4 bits wide each
  my @gray_codes = ( '0', '1' );
  while(scalar(@gray_codes)<$depth)
     {
     my @forward_half=map{'0'.$_} @gray_codes;
     my @reverse_half=map{'1'.$_} reverse(@gray_codes);
     @gray_codes=(@forward_half,@reverse_half);
     }

Рекурсивна функція побудова коду Грея мовою C:

//n -- довжина що потрібна,
//m -- показник на масив
// всі коди довжиною менші за n
//depth -- параметр рекурсії
 
int gray (int n, int* m, int depth) 

{
	int i, t = (1 << (depth - 1));
 
	if (depth == 0)
		m[0] = 0;
 
	else {
        //массив хранит десятичные записи двоичных слов
		for (i = 0; i < t; i++)
			m[t + i] = m[t - i - 1] + (1 << (depth - 1));
	}
	if (depth != n)
		gray(n, m, depth + 1);

	return 0;
}

Швидке перетворення 8/16/24/32-разрядного бінарного коду в код Грея мовою BlitzBasic:

Function BIN_2_GRAY%(X%)
Return X Xor ((X And $EEEEEEEE) Shr 1)
End Function

Таблиця відповідності між двійковим кодом та кодом Грея[ред.ред. код]

Ціле Двійковий код Код Ґрея
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0010 0011
3 0011 0010
4 0100 0110
5 0101 0111
6 0110 0101
7 0111 0100
8 1000 1100
9 1001 1101
10 1010 1111
11 1011 1110
12 1100 1010
13 1101 1011
14 1110 1001
15 1111 1000

Див. також[ред.ред. код]