Користувач:Fxs2008/Функціональні матриці

Означення

Розглянемо взагалі, що таке матриця:
Матрицею називають математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр).
Функціональна матриця - це така матриця, елементи якої є функції. Наприклад, ${\begin{pmatrix}cos(x)&sin(x)\\-sin(x)&cos(x)\end{pmatrix}}$     є матрицею, едементами якої, є тригонометричні функції. Функціональні матриці мають назви тих типів функції, які є її елементами:
${\begin{pmatrix}sin(x)&cos(x)\\tg(x)&ctg(x)\end{pmatrix}}$     -- тригонометрична матриця

${\begin{pmatrix}e^{a}&e^{b}\\e^{c}&e^{-d}\end{pmatrix}}$     -- показникова матриця

${\begin{pmatrix}ln(x)&ln(y)\\-ln(y)&ln(x)\end{pmatrix}}$     -- логарифмічна матриця

${\begin{pmatrix}xe^{x}&x^{2}e^{x^{\,\!2}}\\x^{3}e^{x^{\,\!3}}&x^{4}e^{x^{\,\!4}}\end{pmatrix}}$     -- степенево показникова матриця

Застосування

Матриця ${\begin{pmatrix}cos(x)&sin(x)\\-sin(x)&cos(x)\end{pmatrix}}$     -- тригонометрична матриця, яка є матрицею повороту прямокутної системи координат на площині.

Піднесення функціональних матриць до степення n

1	2	3	4	5	$n$
${\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}a^{2}&a\\0&a^{2}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}a^{3}&3a^{2}\\0&a^{3}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}a^{4}&4a^{3}\\0&a^{4}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}a^{5}&5a^{4}\\0&a^{5}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}a^{n}&na^{n-1}\\0&a^{n}\end{pmatrix}}$

Знаходження оберненої матриці

Нехай, маємо матрицю $A={\begin{Bmatrix}a&1\\0&a\end{Bmatrix}}$

Тоді,

$detA=a^{2}$

Знаходимо $A^{-1}:$

$A^{-1}={\begin{pmatrix}a&-1\\0&a\end{pmatrix}}{1 \over a^{2}}={\begin{pmatrix}1/a&-1/a^{2}\\0&1/a\end{pmatrix}}$

Перевірка:

$AA^{-1}={\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1/a&-1/a^{2}\\0&1/a\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}a\cdot 1/a+1\cdot 0&a\cdot -1/a^{2}+1/a\\0\cdot 1/a+a\cdot 0&0\cdot -1/a^{2}+a\cdot 1/a\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$