Віднімання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Результати обчислення
Додавання (+)
1-й доданок + 2-й доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = різниця
Множення (×)
1-й множник × 2-й множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореня підкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм
При відніманні двох персиків від п'яти залишається три персики

Відніма́ння — двомісна математична операція, обернена додаванню. Віднімання позначається здебільшого знаком «−» (мінус).

У виразі

,
називається зменшуваним,
називається від'ємником,
— результат віднімання, називається різницею.

Для виконання операції віднімання потрібно знайти таке , що у сумі з від'ємником давало б зменшуване :

Необхідність віднімати від меншого числа більше призвела до введення від'ємних чисел.

Позначення і термінологія[ред.ред. код]

Віднімання чисел 0–10. Підписи до прямих = від'ємник. X вісь = зменшуване. Y вісь = різниця.

Віднімання записують за допомогою знака мінус "−" між термами; що є використанням інфіксної нотації. Результат записується після знака рівності. Наприклад,

(словами, "два мінус один дорівнює один")
(словами, "чотири мінус два дорівнює два")
(словами, "шість мінус три дорівнює трьом")
(словами, "чотири мінус шість дорівнює мінус два")

Існують ситуації коли запис із відніманням є "зрозумілим" навіть, якщо не вказано жодного символу:

  • У стовпчику з двох чисел, якщо нижнє число написане червоним, таке написання зазвичай вказує на те, що нижнє число треба відняти від верхнього, а різницю треба записати нижче під лінією. Зазвичай це використовують при розрахунках.

Віднімання чисел[ред.ред. код]

Цілі числа[ред.ред. код]

Line Segment jaredwf.svg

Уявімо лінійний відрізок довжиною b лівий кінець якого відмічено як a а правий кінець відмічено літерою c. Починаючи від a, необхіжно здійснити b кроків праворуч аби досягти c. Цей рух праворуч математично моделюється за допомогою додавання:

a + b = c.

Із c, необхідно здійснити b кроків ліворуч аби повернутися назад до a. Цей рух ліворуч математично моделюється за допомогою віднімання:

cb = a.
Subtraction line segment.svg

Тепер, уявімо лінійний відрізок, який розмічено числами 1, 2, і 3. Із позиції 3, не треба здійснювати ніяких кроків ліворуч аби залишитися у 3, тому 3 − 0 = 3. Необхідно здолати 2 кроки ліворуч аби дістатися позиції 1, тому 3 − 2 = 1. Це зображення є не повним аби описати, що станеться якщо виконати 3 кроки ліворуч від позиції 3. Аби зобразити таку операцію, лінію треба продовжити.

Аби відняти довільні натуральні числа, почнемо із прямої, на якій містяться всі натуральні числа (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Від 3, буде здійснено 3 кроки ліворуч аби дістатися 0, тому 3 − 3 = 0. Але 3 − 4 залишається не визначеним, оскільки знову виходить за межі відрізку. Натуральні числа не корисним прикладом для віднімання.

Рішенням є розглянути числову пряму цілих чисел (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Із 3, необхідно здійснити 4 кроки ліворуч аби отрмиати −1:

3 − 4 = −1.

Натуральні числа[ред.ред. код]

віднімання натуральних чисел не є замкненим. Різниця не буде натуральним числом, коли від'ємник більший або рівний за зменшуване число. Наприклад, 26 не можна відняти із 11, так щоб результатом було натуральне число.

Дійсні числа[ред.ред. код]

Віднімання дійсних чисел визначається як додавання чисел із знаком. Зокрема, число віднімається додаванням його протилежного числа. Тоді ми матимемо 3 − π = 3 + (−π). Це дозволяє зберегти кільце дійсних чисел "простим" без необхідності вводити "нові" оператори, такі як віднімання. Зазвичай кільце має лише дві визначені операції; у випадку цілих чисел, це додавання і множення. Кільце вже має поняття адитивного протилежного, але в ньому немає жодного поняття щодо окремої операції віднімання, тому використовуючи додавання із знаком дає можливість застосувати аксіоми про кільця до віднімання без необхідності щось доводити.

Комплексні числа[ред.ред. код]

Віднімання двох комплексних чисел c=a-b можна представити геометрично як віднімання векторів із побудовою трикутника.

Віднімання двох комплексних чисел одне від одного здійснюють за допомогою віднімання дійсних і уявних частин. Це означає, що:

Де: , — уявна одиниця. Якщо представити косплексні числа векторами на комплексній площині, то операція віднімання матиме наступну геометричну інтерпретацію: різницею комплексних чисел та , заданих у вигляді векторів на комплексній площині є вектор, що сполучає кінці зменшуваного і від'ємника і направлений від від'ємника в сторону зменшуваного.

Аналогічним чином віднімаються n-вимірні комплексні числа:

Властивості[ред.ред. код]

Антикомутативність[ред.ред. код]

Віднімання є антикомутативною[en] операцією, це означає, що якщо хтось міняє терми у різниці з ліва на право, результат буде від'ємним в порівнянні із початковим результатом. Якщо записати це у символічному вигляді, нехай a і b це довільні два числа, тоді

ab = −(ba).

Не-асоціативність[ред.ред. код]

Віднімання є не-асоціативною операцією, що виникає, коли хтось задає повторювані віднімання. Чи потрібно при цьому вираз

"abc"

задати наступними способами: (ab) − c або a − (bc)? Ці два варіанта дають різні результат. Аби усунути цю неоднозначність, необхідно встановити черговість операцій, оскільки різний порядок даватиме різний результат.

Віднімання вручну[ред.ред. код]

У стовпчик[ред.ред. код]

Австралійський метод[ред.ред. код]

Приклад:

Віднімання зліва на право[ред.ред. код]

Приклад:

Американський метод[ред.ред. код]

За цим методом, від кожної цифри зменшуваного, що зверху, віднімається нижнє число починаючи з права на ліво. Якщо верхнє число за мале, аби відняти від нього нижнє, додамо до нього 10; це 10 "позичено" із цифри ліворуч, від якої ми віднімаємо 1. Тоді ми рухаємося до наступного числа і позичаємо одиницю із старшого розряду, якщо це необхідно, доки не виконаємо віднімання усіх цифр. Приклад:

Попереднє торгування[ред.ред. код]

Варіантом американського методу є метод, де всі запозичення здійснюються до виконання всіх віднімань.[1]

Приклад:

Часткові різниці[ред.ред. код]

Метод із частковими різницями відрізняється від попередніх методів віднімання у стовпчик, оскільки не потребує ні позичання ні переносу. Замість цього, ставлять знак мінус чи плюс залежно від того чи є від'ємник більший або менший за зменшуване. Сума усіх часткових різниць дає в результаті загальну різницю.[2]

Приклад:

Інші методи[ред.ред. код]

Метод підрахунку[ред.ред. код]

Замість знаходження різниці цифра за цифрою, можна підрахувати числа між зменшуваним і від'ємником.[3]

Приклад: 1234 − 567 = можна знайти виконавши наступні дії:

  • 567 + 3 = 570
  • 570 + 30 = 600
  • 600 + 400 = 1000
  • 1000 + 234 = 1234

Додамо значення із кожного кроку аби отримати загальну різницю: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Віднімання по частинах[ред.ред. код]

Іншим методом, що є корисним для розрахунку в умі є розбити операцію віднімання на невеликі діїs.[4]

Приклад: 1234 − 567 = можна порахувати наступним чином:

  • 1234 − 500 = 734
  • 734 − 60 = 674
  • 674 − 7 = 667

Однакові зміни[ред.ред. код]

Метод внесення однакової зміни використовує факт, що додавання або віднімання однакового числа від від'ємника і зменшуваного не змінює результат. Для отримання нулів до зменшуваного додають необхідне число.[5]

Приклад:

"1234 − 567 =" можна розв'язати наступним чином:

  • 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953;

Примітки[ред.ред. код]