Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності
Грани́ця числово́ї послідо́вності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення.
[усталений термін?] Дійсне число a називається границею числової послідовності {an : n ≥ 1}, якщо ∀ ε > 0 ∃ N = N(ε) ∈ N ∀ n ≥ N : |an - a| < ε.
Шаблон:Denotation Границю числової послідовності позначають так:
або
( lim - скорочено від латинського слова limes, що означає "границя". )
Кажуть також, що послідовність {an : n ≥ 1} збігається до числа a, або має границю a.
{{knu mechmat}}
→ Нехай an = 1/n,n ≥ 1 . Доведемо, що
Оскільки ∀ ε > 0|1/n-0| = 1/n < ε ⇔ n > 1/ε. Тому ∀ ε > 0 ∃ N := [1/ε] +1 ∈ R ∀ n ≥ N : |1/n - 0| < ε.
[усталений термін?] Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках — розбіжною.
{{knu mechmat}}
→ Розглянемо an = (-1)n, n ≥ 1. Доведемо, що {an} = {-1; 1; -1; 1…} —розбігається. Припустимо, що an → a, n → ∞. Тоді для ε = 1/2 ∃ N ∀ n ≥ N : |an - a| < ε = 1/2. В такому випадку ми могли б записати:
але таких a —не існує.
[усталений термін?] Кажуть, що {an} має границю +∞, якщо ∀ c ∈ R ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : an ≥ c; має границю −∞, якщо ∀ c ∈ R ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : an ≤ c.
{{knu mechmat}}
→ Доведемо, що
∀ c ∈ R ∃ n0 ∈ N : ∀ n ≥ n0 виконується nn ≥ c, nn ≥ n ≥ c — вірно ∀ n ≥ n0, n0 = [c] + 1.
[усталений термін?] Кажуть, що {an} має границю ∞, якщо ∀ c > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : |an| > c.
{{knu mechmat}}
→ Доведемо, що
З попереднього означення неважко здогадатись, що:
А ми знаємо, що послідовність {(-1)n | n ≥ 1} обмежена і її члени лежать у відрізку [-1; 1]. Тому відповідно ∀c > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : |(-1)n√n| > c.
[усталений термін?] Число a є границею числової послідовності {an}, якщо будь-який ε–окіл точки a містить всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого.
Шаблон:Plain theorem Збіжна послідовність обмежена.
Шаблон:Plain theorem Нехай an → a ∈ R, n → ∞ і число b > a. Тоді ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : an < b. Аналогічно, ∀ c < a ∃ K ∈ N ∀ n ≥ K : c < an.
Шаблон:Plain theorem Припустимо, що для послідовностей {an | n ≥ 1} і {bn | n ≥ 1} виконуються умови:
- an → a, bn → b, n → ∞;
- ∀ n ∈ N : an ≤ bn.
Тоді a ≤ b.
Шаблон:Remark Якби в умові було an < bn, то всерівно a ≤ b.
{{knu mechmat}}
→ -1/n < 1/n, при цьому -1/n → 0, 1/n → 0, n → ∞.
Шаблон:Plain theorem Нехай послідовності {an | n ≥ 1}, {bn | n ≥ 1}, {cn | n ≥ 1} задовольняють умови:
- an → a ∈ R, cn → a, n → ∞;
- ∀ n ≥ 1 : an ≤ bn ≤ cn.
Тоді bn → a, n → ∞.
{{knu mechmat}}
→ Доведемо, що
Нехай в теоремі (про три послідовності) для n ∈ N an = 1, тоді
при цьому an < bn < cn, n > 1 і an → 1, cn → 1, n → ∞.
Шаблон:Plain theorem Нехай an → a ∈ R, bn → b ∈ R, n → ∞ Тоді
- ∀ c ∈ R
- :
- :
- якщо додатково b ≠ 0, то
[усталений термін?] Послідовність {an | n ≥ 1} називається строго зростаючою, якщо ∀ n ≥ 1 : an < an+1. Послідовність {an | n ≥ 1} називається зростаючою (неспадною), якщо ∀ n ≥ 1 : an ≤ an+1. Послідовність {an | n ≥ 1} називається строго спадною, якщо ∀ n ≥ 1 : an > an+1. Послідовність {an | n ≥ 1} називається спадною (незростаючою), якщо ∀ n ≥ 1 : an ≥ an+1. Послідовність, яка задовольняє хоча б одну із вищенаведених умов, називається монотонною.
{{knu mechmat}}
→ Послідовність {1, 2, 3, 4,…, n,…} є строго зростаючою, послідовність {1, 1, 2, 2, 3, 3,…, n, n…} зростаюча (неспадна), а послідовність {1, -1, 1, -1,…, (-1)n+1,…} не є монотонною.
Шаблон:Plain theorem Монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел має границю.
Розглянемо послідовність {an = (1+1/n)n | n ≥ 1}. Якщо розписати її за формулою бінома Ньютона, то стане зрозуміло, що кожний із відповідних доданків у an+1 більший за відповідний доданок у an. До того ж у an+1 на один доданок більше. А тому можна зробити висновок, що an монотонна і обмежена, тобто вона є збіжною. Позначимо буквою е границю послідовності {an}. Таким чином,
Число е — одна із важливих фундаментальних сталих в математиці. Воно є ірраціональним, його значення з точністю до 10-15 дорівнює е ≈ 2,718281828459045.
[усталений термін?] Послідовність {am(k) | k ≥ 1} називається підпослідовністю послідовності {an | n ≥ 1}.
{{knu mechmat}}
→ Підпослідовністю послідовності є {a2, a4, a6,…, a2k,…} = {a2k | k ≥ 1}.
- Якщо послідовність обмежена, то будь-яка її підпослідовність також обмежена.
- Якщо послідовність збігається до a (можливо a = +∞ або a = -∞), то будь-яка її підпослідовність також збігається до a.
- Нехай an → a, n → ∞; {v(k) | k ≥ 1} ⊂ N, v(k) → +∞, k → ∞. Тоді av(k) → a, k → ∞.
[усталений термін?] Число a ∈ R називається частковою границею послідовності {an | n ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {am(k) | k ≥ 1} така, що am(k) → a, k → ∞. Значення +∞ (-∞) називається частковою границею послідовності {an | n ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {am(k) | k ≥ 1} така, що am(k) → +∞, k → ∞ (am(k) → -∞, k → ∞).
Шаблон:Denotation Часткову границю позначають так: Ar = Ar(an).
{{knu mechmat}}
→ Візьмемо уже відому нам послідовність {an = (-1)n, n ≥ 1.}. Ми знаємо, що {an} = {-1; 1; -1; 1,…} —розбігається. Тому частковою границею буде Ar(an) = {1; -1}.
Нехай A —множина всіх часткових границь послідовності {an | n ≥ 1}.
Шаблон:Plain theorem Число a ∈ R є частковою границею послідовності {an | n ≥ 1} тоді і тільки тоді, коли ∀ ε > 0 ∀ N ∈ N ∃ ñ ∈ N : ñ ≥ N, |añ - a| < ε.
Шаблон:Plain theorem Будь-яка послідовність дійсних чисел містить монотонну підпослідовність.
Шаблон:Plain theorem Будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел містить збіжну до дійсного числа підпослідовність.
[усталений термін?] Нехай {an | n ≥ 1} ⊂ R — послідовність і A — множина її часткових границь. Нижньою границею послідовності називається величина
Шаблон:Remark Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {an | n ≥ 1} обмежена знизу і A ≠ {+∞}. Також нижня границя дорівнює -∞, якщо {an | n ≥ 1} не обмежена знизу і дорівнює +∞, якщо A = {+∞}.
[усталений термін?] Верхньою границею послідовності називається величина
Шаблон:Remark Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {an | n ≥ 1} обмежена зверху і A ≠ {-∞}. Також верхня границя дорівнює +∞, якщо {an | n ≥ 1} не обмежена зверху і дорівнює -∞, якщо A = {-∞}.
{{knu mechmat}}
→ Якщо послідовність {an | n ≥ 1} збігається до a, то
Шаблон:Plain theorem Нехай {an | n ≥ 1} — обмежена послідовність. Тоді
Дане твердження рівносильне ∀ ε > 0:
- множина {n ∈ N | an < a-ε} скінченна і
- множина {n ∈ N | an < a+ε} нескінченна.
Дане твердження рівносильне ∀ ε > 0:
- множина {n ∈ N | an > β+ε} скінченна і
- множина {n ∈ N | an > β-ε} нескінченна.
Тобто, щоб визначити нижню границю послідовності, варто скористатись формулою:
Для верхньої границі відповідно:
{{knu mechmat}}
→ Розглянемо послідовність {an} = {1; 0; 2; 0; 3; 0;…}. Нижньою границею в даному випадку буде
Верхньою границею буде відповідно:
Виберемо підпослідовності даної послідовності. Для послідовності, яка складається з елементів з парними номерами, це буде {a2n} = {0, 0, 0,…,0,…} = {0}, для непарних номерів відповідно {a2n+1} = {1, 2, 3,…,n+1, n,…}.
Шаблон:Plain theorem Нехай для послідовності чисел {an | n ≥ 1}
Тоді α ∈ A, β ∈ A.
Саме відомий німецький математик Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (Веєрштрас) ввів позначення границі числової послідовності:
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)
- Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.