Границя функції в точці

Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Означення

Означення за Коші:

Нехай $A \subset \mathbf{R}, \quad f:A \to \mathbf{R}$, $x_0$ — гранична точка множини A. Число a називається границею функції $f$ у точці $x_0$, якщо

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \quad \forall x \in A \cap B(x_0, \delta) \setminus \{x_0\} : |f(x)-a|<\varepsilon$

Позначення:

$a=\lim_{x \to x_0}{f(x)}$

або

$f(x) \to a$ при $x \to x_0$

Означення за Гейне: Якщо для довільної послідовності точок взятої з області визначення відповідна послідовність значень функції збігається до того самого числа, то це число називають границею функції в точці.

Односторонні границі

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тільки тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

• Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

  $\lim\limits_{x\to a+}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a+0}f(x),\ \ \lim_{x \downarrow a} f(x),\ \ \lim_{x \searrow a} f(x);$

• Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

  $\lim\limits_{x\to a-}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a-0}f(x),\ \ \lim_{x \uparrow a} f(x),\ \ \lim_{x \nearrow a} f(x).$

• Використовуються також наступні скорочення:
  • $f \left( a+ \right)$ і $f \left( a + 0 \right)$ для правої границі;
  • $f \left( a- \right)$ і $f \left( a - 0 \right)$ для лівої границі.

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
• М.О.Дзедзінський (2010). Математичний Аналіз для студентів. Львів: Листочок.