Границя функції в точці

Розділи в
Математичному аналізі
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля
Диференціальне числ. Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Диференціювання складної функції Степінь Зворотня функція
Інтегральне числення Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний) Інтеграл Рімана Інтеграл Лебега Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Ряди Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторне числення Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Формула Остроградського Теорема Гріна Теорема Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізовані Теорія випадкових процесів Варіаційне числення

Границя функції в точці — основоположне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Суворе математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Означення

Означення за Коші

Нехай $A\subset \mathbf {R} ,\quad f:A\to \mathbf {R}$, $x_{0}$ — гранична точка множини A. Число a називається границею функції $f$ у точці $x_{0}$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|<\varepsilon$

Позначення:

$a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$

або

$f(x)\to a$ при $x\to x_{0}$

Означення за Гейне

Число $A$ називають границею функції $f(x)$ в точці $x_{0}$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, що збігається до числа $x_{0}$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $A$.

Односторонні границі

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тільки тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

• Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

  $\lim \limits _{x\to a+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow a}f(x),\ \ \lim _{x\searrow a}f(x);$

• Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

  $\lim \limits _{x\to a-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow a}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow a}f(x).$

• Використовуються також наступні скорочення:
  • $f\left(a+\right)$ і $f\left(a+0\right)$ для правої границі;
  • $f\left(a-\right)$ і $f\left(a-0\right)$ для лівої границі.

Див. також

• Повторна границя

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462.  (укр.)
• М.О.Дзедзінський (2010). Математичний Аналіз для студентів. Львів: Листочок. 
• Поняття границі функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 207. — 594 с.