Границя функції в точці

Розділи в Математичному аналізі

Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Диференціальне числення  Диференціал Похідна Теорема Тейлора Таблиця похідних Диференціювання складної функції Інтегральне числення  Інтеграл Таблиця інтегралів Невласний інтеграл Методи інтегрування Векторне числення  Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Теорема Гріна Теорема Стокса Формула Остроградського Аналіз функцій багатьох змінних  Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан

Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Означення

Означення за Коші

Нехай $A\subset \mathbf {R} ,\quad f:A\to \mathbf {R}$$A\subset \mathbf {R} ,\quad f:A\to \mathbf {R}$, $x_{0}$$x_0$ — гранична точка множини A. Число a називається границею функції $f$$f$ у точці $x_{0}$$x_0$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|<\varepsilon$$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|<\varepsilon$

Позначення:

$a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$$a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$

або

$f(x)\to a$$f(x)\to a$ при $x\to x_{0}$$x\to x_{0}$

Означення за Гейне: Якщо для довільної послідовності точок взятої з області визначення відповідна послідовність значень функції збігається до того самого числа, то це число називають границею функції в точці.

Односторонні границі

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тільки тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

• Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

  $\lim \limits _{x\to a+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow a}f(x),\ \ \lim _{x\searrow a}f(x);$$\lim \limits _{x\to a+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow a}f(x),\ \ \lim _{x\searrow a}f(x);$

• Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

  $\lim \limits _{x\to a-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow a}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow a}f(x).$$\lim \limits _{x\to a-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow a}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow a}f(x).$

• Використовуються також наступні скорочення:
  • $f\left(a+\right)$$f\left(a+\right)$ і $f\left(a+0\right)$$f\left(a+0\right)$ для правої границі;
  • $f\left(a-\right)$$f\left(a-\right)$ і $f\left(a-0\right)$$f\left(a-0\right)$ для лівої границі.

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
• М.О.Дзедзінський (2010). Математичний Аналіз для студентів. Львів: Листочок. 

Виноски

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.