Границя функції в точці

$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Хоча функція ${\frac {\sin x}{x}}$ в нулі не визначена, проте коли $x$ наближається до нуля, її значення стає як завгодно близьким до 1. Іншими словами, границя цієї функції в нулі дорівнює 1.

Розділи в
Математичному аналізі
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля
Диференціальне числ. Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Диференціювання складної функції Степінь Зворотня функція
Інтегральне числення Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний) Інтеграл Рімана Інтеграл Лебега Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Ряди Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторне числення Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Формула Остроградського Теорема Гріна Теорема Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізовані Теорія випадкових процесів Варіаційне числення

Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.

Історія

Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернард Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.

У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність $y=f(x)$, сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях. У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні. Він також ввів позначення $\lim$ та ${\text{lim}}_{x\to x_{0}}$.

Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу $\lim \limits _{x\to x_{0}}$ ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, причому $A\neq \emptyset$, і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. У подальшому будемо розглядати функції $f:\,A\to \mathbb {R}$. Через $B(x_{0},\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_{0}$:

$B(x_{0},\delta ):=(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$.

Означення за Коші

Число $a$ називається границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|<\varepsilon$

Позначення:

$a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$

або

$f(x)\to a$ при $x\to x_{0}$.

Під $\varepsilon$ і $\delta$ можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував $\varepsilon$ як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах, а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу $\alpha$, а не $\varepsilon$ чи $\delta$. У цих позначеннях похибка $\varepsilon$ обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані $\delta$ до граничної точки.

Означення за Гейне

Число $p$ називається границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, $x_{n}\neq x_{0}$ при $n\in \mathbb {N}$, що збігається до числа $x_{0}$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Односторонні границі

Односторонні границі не рівні. Отже, границі при x → x₀ не існує.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).

Означення правосторонньої границі

Нехай $A\subset \mathbb {R}$ і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$ такі, що $\exists \gamma >0:\,(x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A$. Число $p$ називається правосторонньою границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо

$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta >0\,\forall x\in (x_{0},x_{0}+\delta ):|f(x)-p|<\varepsilon$.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

$\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);$

Означення лівосторонньої границі

Нехай $A\subset \mathbb {R}$ і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$ такі, що $\exists \gamma >0:\,(x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A$. Число $p$ називається лівосторонньою границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо

$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta >0\,\forall x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}):|f(x)-p|<\varepsilon$.

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

$\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).$

Використовуються також наступні скорочення:

• $f\left(x_{0}+\right)$ і $f\left(x_{0}+0\right)$ для правої границі;
• $f\left(x_{0}-\right)$ і $f\left(x_{0}-0\right)$ для лівої границі.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці $x_{0}$ та рівні в ній, то можна показати, що $\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)$. Якщо односторонні границі існують в точці $x_{0}$, але не рівні, то границі в точці $x_{0}$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

Відсутність односторонніх границь

Функція без границі в точці суттєвого розриву

Функція

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}},&x<1\\0,&x=1\\{\frac {0.1}{x-1}},&x>1\end{cases}}$

не має границі в точці $x_{0}=1$ (лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю і кожній іншій точці.

Функція Діріхле

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

не має границі в жодній точці дійсної прямої.

Нерівність односторонніх границь

Функція

$f(x)={\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\geqslant 0\end{cases}}$

має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).

Існування границі лише в одній точці

Обидві функції

$f(x)={\begin{cases}x,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

та

$f(x)={\begin{cases}|x|,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.

Існування границі в зліченній кількості точок

Функція

$f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1,&x\in \mathbb {Q} \end{cases}}$

має границю в будь-якій точці $x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n$, де $n\in \mathbb {Z}$.

Границі, пов’язані з нескінченністю

Границя в нескінченності

Границя цієї функції при $x\to +\infty$ існує.

Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.

Границя в нескінченності за Коші

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена зверху множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $a$ називається границею функції $f$ при $x\to +\infty$, якщо

$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )\in \mathbb {R} \,\forall x\in A\cap (\delta ,+\infty ):\,|f(x)-a|<\varepsilon .$

Позначення: $a=\lim _{x\to +\infty }f(x)$ або $f(x)\to a$ при $x\to +\infty$.

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена знизу множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $a$ називається границею функції $f$ при $x\to -\infty$, якщо

$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )\in \mathbb {R} \,\forall x\in A\cap (-\infty ,\delta ):\,|f(x)-a|<\varepsilon .$

Позначення: $a=\lim _{x\to -\infty }f(x)$ або $f(x)\to a$ при $x\to -\infty$.

Границя в нескінченності за Гейне

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена зверху множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $p$ називається границею функції $f$ при $x\to +\infty$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, яка прямує до $+\infty$ при $n\to +\infty$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена знизу множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $p$ називається границею функції $f$ при $x\to -\infty$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, яка прямує до $-\infty$ при $n\to +\infty$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Нескінченні границі

Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $x_{0}$ — гранична точка множини $A$ і $f:\,A\to \mathbb {R}$.

Кажуть, що $f$ прямує до плюс нескінченності в точці $x_{0}$, якщо

$\forall C\in \mathbb {R} \,\exists \delta =\delta (C)>0\,\forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:f(x)>C$.

Позначення: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty$ або $f(x)\to +\infty$ при $x\to x_{0}$.

Кажуть, що $f$ прямує до мінус нескінченності в точці $x_{0}$, якщо

$\forall C\in \mathbb {R} \,\exists \delta =\delta (C)>0\,\forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:f(x)<C$.

Позначення: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty$ або $f(x)\to -\infty$ при $x\to x_{0}$.

Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty ,\lim _{x\to a+}f(x)=-\infty .$

Так само можна поєднувати означення за Гейне.

Приклад:

$\lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty .$

Властивості

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $a$ — гранична точка $A$, задані функції $f,g:\,A\to \mathbb {R}$ та існують границі $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$, $\lim _{x\to x_{0}}g(x)$. Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості:

• Якщо $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a_{1}$ і $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a_{2}$, то $a_{1}=a_{2}$.

• Якщо $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a$ і $b\in \mathbb {R} :\,a<b$, то

$\exists \delta >0\,\forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:\,f(x)<b$.

• Якщо $\forall x\in A\,f(x)\leqslant g(x)$, то $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\leqslant \lim _{x\to x_{0}}g(x)$.

• Теорема про арифметичні дії

1. $\forall C\in \mathbb {R} \,\,\lim _{x\to x_{0}}(Cf(x))=C\lim _{x\to x_{0}}f(x)$;
2. $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)$;
3. $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)$;
4. Якщо додатково $\lim _{x\to x_{0}}g(x)\neq 0$, то $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}{\lim \limits _{x\to x_{0}}g(x)}}$
5. $\lim _{x\to x_{0}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=\left(\lim _{x\to x_{0}}f(x)\right)^{\lim \limits _{x\to x_{0}}g(x)}$ якщо права частина можлива.

Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює $+\infty$ або $-\infty$. У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює $+\infty$ або $-\infty$, границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:

• q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ якщо q > 0
• q × ∞ = −∞ якщо q < 0
• q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞
• ∞^q = 0 якщо q < 0
• ∞^q = ∞ якщо q > 0
• q^∞ = 0 якщо 0 < q < 1
• q^∞ = ∞ якщо q > 1
• q^−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1
• q^−∞ = 0 якщо q > 1

Границя композиції функцій

У загальному від того, що

$\lim _{y\to b}f(y)=c$ та $\lim _{x\to a}g(x)=b$,

не випливає, що $\lim _{x\to a}f(g(x))=c$, де $f:\,A\to \mathbb {R}$ і $g:\,B\to \mathbb {R}$, b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов:

• $f(b)=c$, тобто f неперервна в b;
• $\exists \delta >0:\,\forall x\in B\cap B(a,\delta )\,|g(x)-b|>0$, тобто g не приймає значення b поблизу a.

Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:

$f(x)=g(x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}.$

Оскільки точка 0 є розривом, який можна усунути, то

$\lim _{x\to a}f(x)=0$ для всіх $a\in \mathbb {R}$.

Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя $f(f(x))$ дорівнює 0. Однак

$f(f(x))={\begin{cases}1,&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$

і тому

$\lim _{x\to a}f(f(x))=1$ для всіх $a\in \mathbb {R}$.

Правило Лопіталя

Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду 0/0 або ±∞/∞, і застосовується лише до таких випадків. Нехай f(x) і g(x), визначені на відкритому інтервалі I, що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:

1. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ або $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty$,
2. $f$ і $g$ диференційовні на $I\setminus \{c\}$,
3. $g^{\prime }(x)\neq 0$ для всіх $x\in I\setminus \{c\}$,
4. $\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$ існує.

Тоді

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$.

Наприклад,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$

Основні приклади границь функцій в точці

Раціональні функції

Для цілого невід’ємного числа $n$ та констант $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ і $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {a_{1}{x}^{n}+a_{2}{x}^{n-1}+a_{3}{x}^{n-2}+...+a_{n}}{b_{1}{x}^{n}+b_{2}{x}^{n-1}+b_{3}{x}^{n-2}+...+b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}$.

Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на $x^{n}$. Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до $+\infty$. Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.

Тригонометричні функції

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ — перша чудова границя
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

Експоненціальні функції

• $\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=\lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e$ — друга чудова границя
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}\ln c$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1$

Логарифмічні функції

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b\ln c}}$

Узагальнення на метричні простори

Нехай $(X,\rho )$, $(Y,\sigma )$ — метричні простори, $A\subset X$, $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. Елемент $a\in Y$ називається границею функції $f:\,A\to Y$ в точці $x_{0}$, якщо

$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\,\forall x\in A,\,x\neq x_{0},\,\rho (x,x_{0})<\delta :\,\sigma (f(x),a)<\varepsilon$.

Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.

Елемент $p\in Y$ називається границею функції $f:\,A\to Y$ в точці $x_{0}$, для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, $x_{n}\neq x_{0}$ при $n\in \mathbb {N}$, що збігається до елемента $x_{0}\in X$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею один і той самий елемент $p$.

Найбільш важливими є наступні випадки:

1. $X=Y=\mathbb {R}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — дійсна функція, визначена на множині $A$ дійсних чисел;
2. $X=\mathbb {R} ^{n},\,Y=\mathbb {R}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — дійсна функція n-змінних;
3. $X=\mathbb {R} ^{n},\,Y=\mathbb {R} ^{m}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — векторна функція n-змінних;
4. $(X,\rho )$ — метричний простір, $Y=\mathbb {R}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — дійсна функція, яка задана на множині $A$ метричного простору.

Узагальнення на топологічні простори

Нехай $(X,\tau _{X})$ — топологічний простір, $(Y,\tau _{Y})$ — гаусдорфів топологічний простір, $A\subset X$, $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. Елемент $a\in Y$ називається границею функції $f:\,A\to Y$ в точці $x_{0}$, якщо

$\forall V_{a}\in \tau _{Y},\,a\in V_{a}\,\exists U_{x_{0}}\in \tau _{X},x_{0}\in U_{x_{0}}:\,f((U_{x_{0}}\cap A)\setminus \{x_{0}\})\subset V_{a}$.

Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.

Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.

Див. також

• Границя послідовності
• Верхня і нижня границі
• Повторна границя
• Узагальнена послідовність
• Стискна теорема — обчислення границі шляхом обмеження функції між двома іншими функціями
• Нотація Ландау — нотації, що описують асимптотичну поведінку функцій
• Асимптотична рівність

Джерела

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. — Київ : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 2. — Київ : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462.  (укр.)
• М.О.Дзедзінський. Математичний Аналіз для студентів. — Листочок.
• Поняття границі функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 207. — 594 с.
• Sutherland, W. A. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3.