Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.
Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернард Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.[1]
У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність
, сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях.[2] У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні.[3] Він також ввів позначення
та
.[4]
Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу
ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.[5]
Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.
Нехай
, причому
, і
— гранична точка множини
. У подальшому будемо розглядати функції
. Через
позначимо
-окіл точки
:
.
Число
називається границею функції
в точці
, якщо
Позначення:

або
при
.
Під
і
можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував
як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах[2], а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу
, а не
чи
. У цих позначеннях похибка
обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані
до граничної точки.
Число
називається границею функції
в точці
, якщо для довільної послідовності
,
при
, що збігається до числа
, відповідна послідовність значень функції
збіжна і має границею одне і теж саме число
.
Односторонні границі[ред. | ред. код]
Односторонні границі не рівні. Отже, границі при
x →
x0 не існує.
Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).
Означення правосторонньої границі
- Нехай
і
— гранична точка множини
такі, що
. Число
називається правосторонньою границею функції
в точці
, якщо
.
Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

Означення лівосторонньої границі
- Нехай
і
— гранична точка множини
такі, що
. Число
називається лівосторонньою границею функції
в точці
, якщо
.
Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

Використовуються також наступні скорочення:
і
для правої границі;
і
для лівої границі.
Якщо обидві односторонні границі існують в точці
та рівні в ній, то можна показати, що
. Якщо односторонні границі існують в точці
, але не рівні, то границі в точці
не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.
Відсутність односторонніх границь[ред. | ред. код]
Функція

не має границі в точці
(лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю і кожній іншій точці.
Функція Діріхле

не має границі в жодній точці дійсної прямої.
Нерівність односторонніх границь[ред. | ред. код]
Функція

має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).
Існування границі лише в одній точці[ред. | ред. код]
Обидві функції

та

мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.
Існування границі в зліченній кількості точок[ред. | ред. код]
Функція

має границю в будь-якій точці
, де
.
Границі, пов’язані з нескінченністю[ред. | ред. код]
Границя в нескінченності[ред. | ред. код]
Границя цієї функції при

існує.
Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.
Границя в нескінченності за Коші[ред. | ред. код]
- Нехай
,
— необмежена зверху множина,
. Число
називається границею функції
при
, якщо
Позначення:
або
при
.
- Нехай
,
— необмежена знизу множина,
. Число
називається границею функції
при
, якщо
Позначення:
або
при
.
Границя в нескінченності за Гейне[ред. | ред. код]
- Нехай
,
— необмежена зверху множина,
. Число
називається границею функції
при
, якщо для довільної послідовності
, яка прямує до
при
, відповідна послідовність значень функції
збіжна і має границею одне і теж саме число
.
- Нехай
,
— необмежена знизу множина,
. Число
називається границею функції
при
, якщо для довільної послідовності
, яка прямує до
при
, відповідна послідовність значень функції
збіжна і має границею одне і теж саме число
.
Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.
Нехай
,
— гранична точка множини
і
.
Кажуть, що
прямує до плюс нескінченності в точці
, якщо
.
Позначення:
або
при
.
Кажуть, що
прямує до мінус нескінченності в точці
, якщо
.
Позначення:
або
при
.
Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад

Так само можна поєднувати означення за Гейне.
Приклад:

Нехай
,
— гранична точка
, задані функції
та існують границі
,
. Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості:
- Якщо
і
, то
.
- Якщо
і
, то
.
- Якщо
, то
.
- Теорема про арифметичні дії
;
;
;
- Якщо додатково
, то 
якщо права частина можлива.
Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює
або
. У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює
або
, границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:
- q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞
- q × ∞ = ∞ якщо q > 0
- q × ∞ = −∞ якщо q < 0
- q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞
- ∞q = 0 якщо q < 0
- ∞q = ∞ якщо q > 0
- q∞ = 0 якщо 0 < q < 1
- q∞ = ∞ якщо q > 1
- q−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1
- q−∞ = 0 якщо q > 1
Границя композиції функцій[ред. | ред. код]
У загальному від того, що
та
,
не випливає, що
, де
і
, b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов:
, тобто f неперервна в b;
, тобто g не приймає значення b поблизу a.
Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:

Оскільки точка 0 є розривом, який можна усунути, то
для всіх
.
Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя
дорівнює 0. Однак

і тому
для всіх
.
Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду 0/0 або ±∞/∞, і застосовується лише до таких випадків. Нехай f(x) і g(x), визначені на відкритому інтервалі I, що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:
або
,
і
диференційовні на
,
для всіх
,
існує.
Тоді
.
Наприклад,
Основні приклади границь функцій в точці[ред. | ред. код]
Для цілого невід’ємного числа
та констант
і
.
Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на
. Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до
. Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.
Тригонометричні функції[ред. | ред. код]
— перша чудова границя

Експоненціальні функції[ред. | ред. код]
— друга чудова границя




Логарифмічні функції[ред. | ред. код]



Узагальнення на метричні простори[ред. | ред. код]
Нехай
,
— метричні простори,
,
— гранична точка множини
. Елемент
називається границею функції
в точці
, якщо
.
Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.
Елемент
називається границею функції
в точці
, для довільної послідовності
,
при
, що збігається до елемента
, відповідна послідовність значень функції
збіжна і має границею один і той самий елемент
.
Найбільш важливими є наступні випадки:
,
— дійсна функція, визначена на множині
дійсних чисел;
,
— дійсна функція n-змінних;
,
— векторна функція n-змінних;
— метричний простір,
,
— дійсна функція, яка задана на множині
метричного простору.
Узагальнення на топологічні простори[ред. | ред. код]
Нехай
— топологічний простір,
— гаусдорфів топологічний простір,
,
— гранична точка множини
. Елемент
називається границею функції
в точці
, якщо
.
Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.
Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. — Київ : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 2. — Київ : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- М.О.Дзедзінський. Математичний Аналіз для студентів. — Листочок.
- Поняття границі функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 207. — 594 с.
- Sutherland, W. A. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3.
- ↑ Felscher, Walter (2000). Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta. American Mathematical Monthly 107 (9): 844–862. JSTOR 2695743. doi:10.2307/2695743.
- ↑ а б Grabiner, Judith V. (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus. American Mathematical Monthly 90 (3): 185–194. JSTOR 2975545. doi:10.2307/2975545. , наявна в Who Gave You the Epsilon? [Архівовано 2012-10-04 у Wayback Machine.], ISBN 978-0-88385-569-0 сс. 5–13. Також доступна на сторінці http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
- ↑ Sinkevich, G. I. (2017). Historia epsylontyki. Antiquitates Mathematicae (Cornell University) 10. arXiv:1502.06942. doi:10.14708/am.v10i0.805.
- ↑ Burton, David M. (1997). The History of Mathematics: An introduction (вид. Third). New York: McGraw–Hill. с. 558–559. ISBN 978-0-07-009465-9.
- ↑ Miller, Jeff (1 грудня 2004). Earliest Uses of Symbols of Calculus. Процитовано 18 грудня 2008.