Біном Ньютона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Біно́м Ньютона — вираз вигляду (a+b)n. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:

\ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\ (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2b + 3 a b^2 + b^3

Спробуємо розкласти (a+b)n в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:

 \begin{matrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ (a+b) & (a+b) & \ldots & (a+b) \end{matrix}

Кожний доданок містить n множників: k множників a і (n-k) множників b, тобто має вигляд akbn-k, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків a^kb^{n-k} рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається  C^k_n або  \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) . Отже,

 (a+b)^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n a^k b^{n-k}

Коефіцієнти при a^kb^{n-k} називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)n.

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

 C^k_n = C^{n-k}_n

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

  • при b=1 маємо : (a+1)^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n a^k  ,
  • при a=b=1 маємо : (1+1)^n = 2^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n ,
  • при a= −1, b=1 маємо : (-1+1)^n = 0^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n (-1)^k   .

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю (трикутник Паскаля):

 \begin{matrix} 1 \\ 
         1 & 1 \\
       1 & 2 & 1 \\
     1 & 3 & 3 & 1 \\
   1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\
1 & 5  & 10 & 10 & 5  & 1 \\
1 & 6  & 15 & 20 & 15 & 6 & 1
\end{matrix}

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

 C^k_n = C^{k-1}_{n-1} + C^{k}_{n-1} .

Доведення цього факту можливе методом математичної індукції.

Дивіться також[ред.ред. код]

Додаткова література[ред.ред. код]

  • И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Элементы комбинаторики. Москва:Наука, 1977. — 80 с.
  • Вилекин Н. Я. Комбинаторика. Ленинград:Наука, 1969. — 328 с.

Посилання[ред.ред. код]

Статті: