Користувач:Vaslav/у роботі

Вікіпедія:Проект:Математика

Бісектри́са (лат. bis — двічі і лат. secare — розсікати, розтинати) — термін, що вживається в геометрії для позначення кількох споріднених понять.

Бісектриса кута

Бісектриса кута

— пряма, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута.

Бісектриса трикутника

— відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Властивості бісектриси трикутника

• Бісектриси трьох кутів трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаного в трикутник.
• Теорема про бісектрису: Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.
• Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - інцентре - центрі вписаною в цей трикутник кола.
• Бісектриси одного внутрішнього і двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр однієї з трьох вневпісанних окружностей цього трикутника.
• Підстави бісектрис двох внутрішніх і одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.
• Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.
• Якщо у трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник - рівнобедрений (теорема Штейнера - ЛЄМУС).

Формули за участю довжини бісектриси

Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD:DC = AB:AC

$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}$

$l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}$

$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$

$l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

Де:

• $l_{c}$ — бісектриса, проведена до сторони с
• $a,b,c$ — сторони трикутника проти вершин A,B,C відповідно
• $a_{l},b_{l}$ — довжини відрізків, на які бісектриса $l_{c}$ ділить сторону с
• $\alpha ,\beta ,\gamma$ — внутрішні кути трикутника при вершинах а,b,c відповідно
• $h_{c}$ — висота трикутника, опущена на сторону c.

Див. також

• Теорема про бісектрису