Космологічний масштабний фактор

Космологічний масштабний фактор — параметр рівняння Фрідмана, що є показником зміни віддалі між галактиками внаслідок розширення (або стиснення) Всесвіту. Космологічний масштабний фактор позначається зазвичай літерою $a$, залежить від часу, а його логарифмічна похідна по часу дорівнює сталій Габбла:

$H={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}$.

Зазвичай космологічний мастштабний фактор вибирають безрозмірним, його теперішнє значення $a(t_{0})=1$, де $t_{0}$ вік Всесвіту, починаючи від Великого вибуху. Його можна також вибрати розмірним з розмірністю довжини.

Масштабний фактор входить у метрику Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}/a^{2}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$.

Цю метрику можна отримати з таких міркувань (для k=1): нехай однорідно заповнений речовиною простір є сферою у чотиривимірному гіперпросторі з координатами $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},$. Рівнняня гіперсфери:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=a^{2}$.

Виключаючи за допомогою цього рівняння $x_{4}$, вираз для елемента довжини в сферичній системі координат набуде виду:

$dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-r^{2}/a^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$,

що й дає наведену вище метрику. Відповідно до цих рівнянь фактор $a$ можна інтерпретувати як кривину тривимірного простору.

Джерела

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука.