Сферична система координат

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Точка має три декартових і три сферичних координати

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат , де - відстань до початку координат, а і - зенітний і азимутальний кути відповідно.

Поняття зеніту і азимуту[ред.ред. код]

Поняття зеніт і азимут широко використовуються в астрономії. Взагалі зеніт - це напрямок вертикального підйому над довільно вибраним пунктом (точкою спостереження), що належить так званої фундаментальної площини. В якості фундаментальної площини в астрономії може бути обрана площина, в якій лежить екватор, або площина, в якій лежить горизонт, або площина екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут - кут між довільно вибраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.

На наведеному малюнку сферичної системи координат, фундаментальна площина - це площина xy. Зеніт - якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховується від осі X до проекції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може служити узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.

Визначення[ред.ред. код]

Три координати визначені як:

  •  — відстань від початку координат до заданої точки .
  •  — кут між віссю і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку .
  •  — кут між віссю і проекцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою , на площині .

Кут називається зенітний, або полярний, або нормальний, англ. colatitude, а кут  — азимутальний. Кути і не мають значення при , а не має значення при (тобто при або ).

Залежно чи незалежно від стандарту (ISO 31-11), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута , використовується кут між проекцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює  — . Він називається кутом підйому і може бути позначений тією ж буквою . В цьому випадку він буде змінюватись в межах .

Тоді кути і не мають значення при , так само як і в першому випадку, а не має значення при , так само як і в попередньому випадку, (але вже при або ).

Перехід до інших систем координат[ред.ред. код]

  • Декартова система координат
    • Від сферичних до декартових:
    • Від декартових до сферичних:
      • (тут, звісно, потрібне уточнення для значень поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна на відповідну формулу з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати ).
    • Модуль якобіана перетворення від декартових до сферичних координат:
  • Циліндрична система координат
    • Від сферичних до циліндричних:
    • Від циліндричних до сферичних:
    • Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:

Диференціальні характеристики[ред.ред. код]

Сферичні координати є ортогональними, тому метричний тензор набуває діагональної форми:

  • Квадрат диференціала довжини дуги:

Інші дорівнюють нулю.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]