Логістична рівність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Логістичне рівняння, також відоме як рівняння Ферхюльста , спершу з'явилося при розгляді моделі зростання чисельності населення.

Вихідні припущення для виведення рівняння при розгляді популяційної динаміки виглядають наступним чином:

  • швидкість розмноження популяції пропорційна її поточної чисельності, при інших рівних умовах
  • швидкість розмноження популяції пропорційна кількості доступних ресурсів, при інших рівних умовах. Таким чином, другий член рівняння відображає конкуренцію за ресурси, яка обмежує зростання популяції.

Позначаючи через чисельність популяції (в екології часто використовується позначення ), а час — модель можна звести до диференціального рівняння:

,

де параметр характеризує швидкість росту (розмноження), а — підтримує ємність середовища (тобто максимально можливу чисельність популяції). Виходячи з назви коефіцієнтів, в екології часто розрізняють дві стратегії поведінки видів:

  • -стратегія передбачає бурхливе розмноження та коротку тривалість життя особин
  • а -стратегія — низький темп розмноження і довге життя.
Логістична крива для K=1 і P0=0,5

Точним розв'язком рівняння (де — початкова чисельність популяції) є логістична функція, S-подібна крива, (логістична крива):

де

Зрозуміло, що в ситуації «достатнього обсягу ресурсів», тобто поки P(t) багато менше K, логістична функція спочатку зростає приблизно експоненціально:

Аналогічно, при "вичерпанні ресурсів" (t → ∞) різниця експоненціально зменшується з таким же показником.

Залишається невідомим, чому Ферхюльст назвав рівняння логістичним. У 1924 році Раймонд Перл застосував рівняння для опису автокаталітичних реакцій.

Дискретним аналогом логістичного рівняння є логістичне відображення.

Література[ред. | ред. код]

  • Verhulst, P. F., (1838). Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique 10:113-121.
  • Verhulst, P. F., Recherches Mathématiques sur La Loi D’Accroissement de la Population, Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, 18, Art. 1, 1-45, 1845 (Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase)

Див. також[ред. | ред. код]