Звичайні диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Звичайні диференціальні рівняння — рівняння вигляду

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle F\left(t,x,x',x'',...,x^{(n)}\right) = 0, }

де Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle x = x(t) }  — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної t, штрих означає диференціювання по t. Число n називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle G(x,t) =0 } ,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь[ред.ред. код]

Вводячи змінні Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle x_1 = x' } , , Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle x^{(n-1)} = x_{n-1} } , звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F\left(t,x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},{\frac {dx_{n-1}}{dt}}\right)=0,\\{\frac {dx}{dt}}=x_{1},\\{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2},\\\ldots \\{\frac {dx_{n-2}}{dt}}=x_{n-1}.\end{matrix}}\right.}

Методи розв'язанння[ред.ред. код]

Аналітичні[ред.ред. код]

Чисельні[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9.  (укр.)
  2. Овчинников П. П.; Михайленко В. М. (2004 р.). Вища Математика, Частина 2. Київ: "Техніка". ISBN 966-575-100X.  (укр.)
  3. Шкіль М. І.; Сотніченко М. А. (1992 р.). Звичайні диференціальні рівняння: Навчальний посібник для вузів. Київ: Вища школа.  (укр.)

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорюк М.В. (85). Обыкновенные дифференциальные уравнения (російська) (вид. Издание второе, переработанное и дополенное). Москва: Наука.  (рос.)


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.