Звичайні диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Звичайні диференціальні рівняння — рівняння вигляду

F\left(t,x,x',x'',...,x^{(n)}\right) = 0,

де x = x(t)  — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної t, штрих означає диференціювання по t. Число n називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

 G(x,t) =0 ,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь[ред.ред. код]

Вводячи змінні  x_1 = x' ,  x_2 = x'' ,  x^{(n-1)} = x_{n-1} , звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

 \left\{ \begin{matrix} F\left(t,x, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, \frac{dx_{n-1}}{dt}\right) = 0, \\ 
\frac{dx}{dt} = x_1, \\ 
\frac{dx_1}{dt} = x_2, \\
\ldots \\
\frac{dx_{n-2}}{dt} = x_{n-1}.
 \end{matrix} \right.

Методи розв'язанння[ред.ред. код]

Аналітичні[ред.ред. код]

Чисельні[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9.  (укр.)
  2. Овчинников П. П.; Михайленко В. М. (2004 р.). Вища Математика, Частина 2. Київ: "Техніка". ISBN 966-575-100X.  (укр.)
  3. Шкіль М. І.; Сотніченко М. А. (1992 р.). Звичайні диференціальні рівняння: Навчальний посібник для вузів. Київ: Вища школа.  (укр.)

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорюк М.В. (85). Обыкновенные дифференциальные уравнения (російська) (вид. Издание второе, переработанное и дополенное). Москва: Наука.  (рос.)


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.