Звичайні диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Звичайні диференціальні рівняння — рівняння вигляду

$F\left(t,x,x',x'',...,x^{(n)}\right)=0,$$F\left(t,x,x',x'',...,x^{(n)}\right)=0,$

де $x=x(t)$$x=x(t)$ — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної t, штрих означає диференціювання по t. Число n називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

$G(x,t)=0$$G(x,t)=0$,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь

Вводячи змінні $x_{1}=x'$$x_{1}=x'$, $x_{2}=x''$$x_{2}=x''$, $x^{(n-1)}=x_{n-1}$$x^{(n-1)}=x_{n-1}$, звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

$\left\{{\begin{matrix}F\left(t,x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},{\frac {dx_{n-1}}{dt}}\right)=0,\\{\frac {dx}{dt}}=x_{1},\\{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2},\\\ldots \\{\frac {dx_{n-2}}{dt}}=x_{n-1}.\end{matrix}}\right.$$\left\{{\begin{matrix}F\left(t,x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},{\frac {dx_{n-1}}{dt}}\right)=0,\\{\frac {dx}{dt}}=x_{1},\\{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2},\\\ldots \\{\frac {dx_{n-2}}{dt}}=x_{n-1}.\end{matrix}}\right.$

Методи розв'язанння

Чисельні

• Метод Ейлера
• Метод Рунге-Кутти
• Метод Адамса

Див. також

• Задача Коші
• Крайова задача

Література

1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9.  (укр.)
2. Овчинников П. П.; Михайленко В. М. (2004 р.). Вища Математика, Частина 2. Київ: "Техніка". ISBN 966-575-100X.  (укр.)
3. Шкіль М. І.; Сотніченко М. А. (1992 р.). Звичайні диференціальні рівняння: Навчальний посібник для вузів. Київ: Вища школа.  (укр.)

Джерела

• Федорюк М.В. (85). Обыкновенные дифференциальные уравнения (російська) (вид. Издание второе, переработанное и дополенное). Москва: Наука.  (рос.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.