Звичайні диференціальні рівняння
Звичайні диференціальні рівняння — диференціальні рівняння вигляду
де — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної , штрих означає диференціювання по . Число називається порядком диференціального рівняння.
Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння
- ,
то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.
Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.
Звичайні диференціальні рівняння першого порядку[ред. | ред. код]
Звича́йним диференціальним рівня́нням пе́ршого поря́дку називають рівняння вигляду
де — незалежна змінна, — невідома функція від змінної , — похідна функції, а — задана функція, яка визначена в деякій області простору .
Розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію , , яка задовольняє такі умови:
- ( неперервно диференційована на );
- ;
- .
Загальним розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію від незалежної змінної та параметра , яка задовольняє умову:
- для будь-якого конкретного (допустимого) значення параметра функція від змінної , що пробігає допустимі значення з деякого числового проміжку (тобто, ), є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Якщо загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння першого порядку має таку властивість:
- який би не був розв'язок , , звичайного диференційного рівняння першого порядку знайдеться значення параметра таке, що , ,
то цей загальний розв'язок називають повним загальним розв'язком (у протилежному разі його ще називають неповним загальним розв'язком).
Інтегралом звичайного диференціального рівняння першого порядку називають співвідношення вигляду , якщо будь-яка неявно задана ним неперервно диференційовна функція є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Диференціальне рівняння записане у вигляді у загальному вигляді ще називають неявним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо ж у виразі, що задає рівняння явно виділено похідну , тобто рівняння записане як , то таке рівняння називають явним. Диференціальне рівняння першого порядку записане у вигляді
де задані неперервні функції двох змінних, які одночасно не тотожні нулю, називається диференціальним рівнянням записаним у симетричні формі.
Найпоширенішими типами диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються у квадратурах є наступні:
Рівняння з відокремлюваними змінними[ред. | ред. код]
Рівняння у симетричній формі або явне диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлене у вигляді:
відповідно. Такі рівняння завжди можна розв'язати у квадратурах.
Однорідні рівняння[ред. | ред. код]
Поняття однорідного диференціального рівняння першого порядку пов'язане з однорідними функціями. Рівняння у симетричній формі у випадку, коли функції є однорідними функціями одного порядку, та явне рівняння у випадку, коли є однорідною функцією нульового порядку називаються однорідними диференціальними рівняннями.
Такі рівняння заміною змінних зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції
Лінійні рівняння першого порядку[ред. | ред. код]
Диференціальне рівняння першого порядку у випадку коли є лінійною функцією за сукупністю змінних називається лінійним однорідним рівнянням і може бути записане у вигляді
Поряд з лінійним однорідним рівнянням розглядається також лінійне неоднорідне рівняння, яке має вигляд
Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння записується формулою
з якої, поклавши , отримуємо у загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння.
Диференціальне рівняння Бернуллі[ред. | ред. код]
Явне диференціальне рівняння, записане у вигляді
називається рівнянням Бернуллі. Заміною змінних рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння відносно .
![]() | Цей розділ потребує доповнення. (січень 2022) |
Пониження порядку диференціальних рівнянь[ред. | ред. код]
Часто диференціальне рівняння високого порядку може бути розв'язане шляхом пониження порядку рівняння, зокрема і до рівняння першого порядку.
Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку[ред. | ред. код]
Вводячи змінні , , , звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
Методи розв'язання[ред. | ред. код]
Аналітичні[ред. | ред. код]
![]() | Цей розділ потребує доповнення. (вересень 2010) |
Чисельні[ред. | ред. код]
Див. також[ред. | ред. код]
Література[ред. | ред. код]
- Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9. Архів оригіналу за 17 червня 2014. Процитовано 2 грудня 2015. (укр.)
- Овчинников П. П.; Михайленко В. М. (2004 р.). Вища Математика, Частина 2. Київ: "Техніка". ISBN 966-575-100X. (укр.)
- Шкіль М. І.; Сотніченко М. А. (1992 р.). Звичайні диференціальні рівняння: Навчальний посібник для вузів. Київ: Вища школа. (укр.)
- Pontryagin, Lev (1962). Ordinary Differential Equations. Adiwes International Series in Mathematics. Pergamon Press. Архів оригіналу за 13 липня 2020. Процитовано 13 липня 2020. (англ.)
- Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения — 4-е изд. — Москва, 1974. (рос.) (Підручник удостоєний державної премії СРСР)
Джерела[ред. | ред. код]
- Федорюк М.В. (85). Обыкновенные дифференциальные уравнения (російська) (вид. Издание второе, переработанное и дополенное). Москва: Наука. (рос.)
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |