Математична морфологія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Математична морфологія — (Морфологія від грец. μορφή «форма» и λογία «наука») — наука, яка вивчає методи і алгоритми аналізу і обробки геометричних структур, основана на теорії множин, топології і випадкових функцій. Застосовується при обробці цифрових зображень, але також може бути застосована до графів, полігональної сітки, стереометрії і бататьох інших просторових структур.

Інші визначення:

Математична морфологія (фізика) — методи аналізу сигналу на основі теорії множин, що спрямовані на вивчення відносин між фізичними і структурними властивостями.[1]

Математична морфологія (теорія обробки сигналів) — нелінійний спосіб обробки сигналів на основі операцій виділення мінімумів і максимумів.[1]

Структурний елемент[ред.ред. код]

Морфологічні операції виконуються над двома зображеннями: вхідним зображенням і спеціальним, яке залежить від операції і типу виконуваної задачі. Таке спеціальне зображення в математичній морфології називається структурним елементом або примітивом. Структурний елемент являє собою деяке двійкове зображення (геометричну форму). Він може бути довільного розміру і структури, але за звичай розмір такого зображення має розмір 3x3, 4x4, 5x5 пікселів, тобто значно менше вхідного зображення.[2] Частіше за все використовуються симетричні елементи, такі як прямокутник фіксованого розміру чи круг заданого діаметру. В кожному елементі виділяють особливу точку, яку називають початковою (origin). Вона може вибиратися в будь-якому місці зображення, але найчастіше це центральний піксель.

Ось декілька елементів, які широко застосовуються на практиці (позначені як B):

  • Нехай E=\mathbb{R}^2; B диск з заданим радіусом r, початковою точкою якого є центр диску.
  • Нехай E=\mathbb{Z}^2; B прямокутник 3x3, який описується в так: B={(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)}.
  • Нехай E=\mathbb{Z}^2; B це "хрест" який задається як: B={(-1,0), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,0)}.

Приклади частовживаних структурних елементів:

Квадрат
Хрест
Диск
Октагон
Плюс
Кути
Прямокутник

Основні операції[ред.ред. код]

Основними операціями математичної морфології є:

  • трансляція (перенос) — зсуває зображення на задану кількість пікселів;
  • дилація (розширення) — збільшує область зображення;
  • ерозія (звуження) — зменьшує облласть зображення;
  • розкриття (спочатку звуження, потім розширення) — вилучає виступи на межах об'єктів;
  • закриття (спочатку розширення, потім звуження) — заповнює отвори всередині й на межах.

Перенос[ред.ред. код]

Перенос множини пікселів A на заданий вектор s визначається як:

A_s = \{a+s|a\in A\}, \forall s\in E.

Перенос можна визначити за допомогою упорядкованої пари чисел (х,у), де x – кількість пікселів зміщення вздовж осі X, а y – рух вздовж осі Y.

Ерозія[ред.ред. код]

Для двох множин A і B з простотру \mathbb{Z}^2 ерозія множини A по структурному елементу B визначається як:

A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\},

Інакше кажучи, ерозія множини A по примітиву B, це таке геометричне місце точок для всіх таких позицій точок центру z, при зсуві яких множина B цілком міститься в A.

Дилація[ред.ред. код]

Дилація множини A по множині B визначається як:

A  \oplus B = \{z \in E| (B^{s})_{z} \cap A\neq \varnothing\}

При цьому дилація множини A по структурному елементу B це множина всіх таких переміщень z, при яких множини A і B співпадають принаймні в одному елементі.

Дилація є комутативною функцією, тобто має місце наступний вираз:

A  \oplus B = B\oplus A = \bigcup_{a\in A} B_a.

Розкриття[ред.ред. код]

Розкриття множини A по структурному елементу B позначається як A \circ B і визначається виразом:

A \circ B  = (A \ominus B) \oplus B .

Таким чином, розкриття множини A про структурному елементу B знаходиться як ерозія A по B, результат котрої піддається дилації по тому ж структурному елементу B. В загальному випадку розкриття сгладжує контури об’єкту, усуває візькі перешийки і ліквідує виступи невеликої ширини.

Закриття[ред.ред. код]

Закриття множини A по структурному елементу B позначається як A \bullet B і отримується шляхом виконання операції дилації множини A по структурному елементу B, за котрою слідує операція ерозії результуючої множини по структурному елементу B. Закриття визначається наступним виразом:

A \bullet B  = (A \oplus B) \ominus B .

В результаті операції закриття відбувається згладження відрізків контурів, але, на відміну від розкриття, в загальному випадку заповнюються невеликі розриви і довгі заглибини малої ширини, а також ліквідуються невеликі отвори і заповнюються проміжки контуру.

Примітки[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]