Теорія множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Діаграма Венна, що ілюструє перетин двох множин

Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики — вона є фундаментом ряду нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики.

Сучасні дослідження теорії множин була започатковані Георгом Кантор і Ріхардом Дедекіндом в 1870-х роках. Після відкриття парадоксів наївної теорії множин, на початку XX століття були запропоновані численні системи аксіом, серед яких найвідомішою є система Цермело-Френкеля, з аксіомою вибору.

Наївна теорія множин[ред.ред. код]

Георг Кантор (1845—†1918), фундатор теорії множин

До другої половини 19 століття поняття «множини» не розглядалося як математичне («множина книг на полиці», «множина людських чеснот» і т. д. — все це суто побутові мовні звороти). Становище змінилося, коли німецький математик Георг Кантор розробив свою програму стандартизації математики, в рамках якої будь-який математичний об'єкт мав бути тією або іншою «множиною». Цей підхід викладений у двох його статтях, опублікованих у 1879–1897 роках у відомому німецькому журналі «Mathematische Annalen»[1][2].

Наприклад, натуральне число за Кантором слід було розглядати як множину, що складається з єдиного елемента іншої множини, званої «натуральним рядом», який, у свою чергу, сам є множиною, що задовольняє так званим аксіомам Пеано.

При цьому загальному поняттю «множини», що розглядалося ним як центральне для математики, Кантор давав вельми розмиті означення, ніби «множина є багато що, мислиме як єдине», і т. д. Це цілком відповідало наміру самого Кантора, який підкреслено називав свою програму не «теорією множин» (цей термін з'явився багато пізніше), а «вченням про множини» (Mengenlehre).

Програма Кантора викликала різкі протести з боку багатьох сучасних йому відомих математиків. Особливо виділявся своїм непримиренним до неї ставленням Леопольд Кронекер, який вважав, що математичними об'єктами можуть вважатися лише натуральні числа і те, що до них безпосередньо зводиться (відома його фраза про те, що «бог створив натуральні числа, а все інше — справа рук людських»).

Повністю відкинули теорію множин і такі авторитетні математики, як Герман Шварц та Анрі Пуанкаре. Проте, деякі інші математики — зокрема, Готлоб Фреге, Ріхард Дедекінд та Давид Гільберт — підтримали Кантора в його намірі перекласти всю математику на теоретико-множинну мову. Зокрема, теорія множин стала основою: теорії міри, топології, функціонального аналізу.

Проте незабаром з'ясувалося, що спрямування Кантора на відсутність обмежень при операціях з множинами (виражене ним самим у принципі «суть математики полягає в її свободі») недосконала із самого початку; а саме, було знайдено ряд теоретико-множинних антиномій: виявилося, що при використанні теоретико-множинних уявлень деякі твердження можуть бути доведені разом зі своїми запереченнями (а тоді, відповідно до правил класичної логіки висловлень, може бути «доведено» абсолютно будь-яке твердження). Антиномії ознаменували собою повний провал програми Кантора.

Аксіоматична теорія множин[ред.ред. код]

Ернст Цермело (1871—†1953), автор аксіоматики теорії множин

В 1901 році Бертран Расселл, вивчаючи наївну теорію множин, дійшов до парадоксу (відтоді відомому як парадокс Рассела). Таким чином була продемонстрована суперечливість наївної теорії множин і, пов'язаної з нею канторівскої програми стандартизації математики. Аксіоматичної теорії множин була початково розроблена, щоб позбутися таких парадоксів в теорії множин. [3]

Після виявлення антиномії Рассела частина математиків (наприклад, Л. Е. Я. Брауер і його школа) вирішила повністю відмовитися від використовування теоретико-множинних уявлень.

Інша ж частина математиків, очолена Давидом Гільбертом зробила ряд спроб обґрунтувати ту частину теоретико-множинних уявлень, яка здавалася їм якнайменше відповідальною за виникнення антиномій, на основі надійної фінітної математики.

Логічний апарат удосконалив Бертран Рассел в роботах, пізніше зібраних у його монографії «Principia Mathematica» (1910-1913). І в 1904-1908 роках Ернст Цермело запропонував першу із аксіоматичної теорії множин.

Особливістю аксіоматичного підходу є відмова від закладеного у програму Кантора уявлення про справжнє існування множин в деякому ідеальному світі. В рамках аксіоматичних теорій множини «існують» винятково формальним чином, і їх «властивості» можуть істотно залежати від вибору аксіоматики. Цей факт завжди був мішенню для критики з боку тих математиків, які не згоджувалися (як на тому наполягав Гільберт) визнати математику, позбавленою будь-якого змісту, грою в символи. Зокрема, М. М. Лузін писав, що «потужність континууму, якщо тільки мислити його як множина точок є якась єдина реальність», місце якої в ряду кардинальних чисел не може залежати від того, чи визнається як аксіома континуум-гіпотеза, чи її заперечення.

Наразі найпоширенішою аксіоматичною теорією множин є ZFC — теорія Цермело-Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечність цієї теорії (а тим більше — про існування моделі для неї) залишається нерозв'язаним.

Основні поняття[ред.ред. код]

В основі теорії множин лежать первинні поняття: множина та елемент множини. Елемент множини перебуває щодо множини у відношенні бути елементом множини (позначається як x \in A[4] — «x є елемент множини A»). Серед похідних понять найважливішими є наступні:

Над множинами визначені наступні операції:

Для множин визначені наступні бінарні відношення:

Області дослідження[ред.ред. код]

Комбінаторна теорія множин[ред.ред. код]

Комбінаторна теорія множин (нескінченна комбінаторика) розглядає розширення комбінаторики для нескінченних множин. Це включає в себе дослідження кардинальної арифметики і вивчення розширень теореми Рамзея, таких як теорема Ердеша-Радо[5].

Описова теорія множин[ред.ред. код]

Нечіткі множини або Теорія розмитих множин[ред.ред. код]

Докладніше: Нечітка множина

Нечіткі множини були введені одночасно[6] Лотфі Заде[7] і Дітером Кляуа[8] в 1965 році як розширення класичного поняття множини. В теорії множин введеній Кантором і аксіоматизованії Цермело і Френкелем, елемент або належить множині, або ні. В теорії нечітких множин цю умову було ослаблено, елемент має ступінь належності до множини, який задається числом між 0 і 1. Наприклад, ступінь приналежності конкретної людини до множини "високих людей" є гнучкішим, ніж просто так чи ні, і може бути дійсним числом, скажімо, 0,75. Теорія розмитих множин визначена Лотфі Заде використовується в лінгвістиці. Заде вказує на те що деякі категорії не мають ступенів членування тоді як в інших вони є. Категорія сенатор США - чітко визначена. Проте, з іншого боку такі категорії як багаті люди чи високі люди градуйовані лише тому, що є різні ступені багатства та високого росту. Заде запропонував різновид теорії множин для того, щоб моделювати градуйовані категорії. В розмитих множинах за визначенням Заде допускається додаткове значення між 0 і 1.

Детермінованість[ред.ред. код]

Форсинг[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Виноски[ред.ред. код]

  1. G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal f. Mathematik 77 (1874) 258–262.
  2. Philip Johnson, 1972, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0-87150-154-6
  3. John von Neumann, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8. (наведено за англійською вікіпедією)
  4. Символ \in (від грец. εστι — «бути») введений італійським математиком Джузеппе Пеано.
  5. Erdős, P.; Rado, R. (1956), «A partition calculus in set theory.», Bull. Amer. Math. Soc. 62: 427–489, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0, http://www.ams.org/bull/1956-62-05/S0002-9904-1956-10036-0/ 
  6. Michael Winter (2007). Goguen categories: a categorical approach to L-fuzzy relations. Springer. с. ix. ISBN 9781402061639. 
  7. L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets". Information and Control 8 (3) 338–353.
  8. Klaua, D. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin 7, 859–876. A recent in-depth analysis of this paper has been provided by doi:10.1016/j.fss.2009.12.005
    This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналіз