Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.
Якщо тензор 4-ранга
є симетричним за першою і другою парою індексів
,
,
то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:
![{\displaystyle 11\rightarrow 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d5a6c3d3f2c2641b30594fbdc63705a2c8baa2)
![{\displaystyle 22\rightarrow 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715bba19dbad4d2c7492ed752689808edf746ab2)
![{\displaystyle 33\rightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbeb5930ca9a4a4636eac43a1b4be4e4d2cfd27f)
![{\displaystyle 23,32\rightarrow 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7b377706d4157274b1c9d94a80bb8c1770e245)
![{\displaystyle 13,31\rightarrow 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2890d5627881b6daa5212e93f56a41aa275f91f1)
.
Наприклад, компонента
буде відповідати елементу матриці
.
Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів.
При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць.
Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.
Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.
При цьому вводяться такі позначення:
![{\displaystyle \varepsilon _{i}=\varepsilon _{ii},\qquad \sigma _{i}=\sigma _{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e272c05ddaf58a599c2446324894ea6d1483d29)
для i = 1,2,3.
,
,
.
Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\c_{51}&c_{52}&c_{53}&c_{54}&c_{55}&c_{56}\\c_{61}&c_{62}&c_{63}&c_{64}&c_{65}&c_{66}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b10669c0cf92d5855f7709c1af02de7078150e0)
Матриця жорсткості симетрична
,
а тому здебільшого її зображають в трикутній формі
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\&&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\&&&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\&&&&c_{55}&c_{56}\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f26634201ec4a3e31c6108dcea5163fbad41cb4)
Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має
менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.
Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.
Тринадцять незалежних пружніх сталих
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&c_{15}&0\\&c_{22}&c_{23}&0&c_{25}&0\\&&c_{33}&0&c_{35}&0\\&&&c_{44}&0&c_{46}\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e3af7b2dbf4d3e394a99da046324e30ecf5283)
9 незалежних елементів
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{22}&c_{23}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2017bb3cfa6c16e0fad63cfe434c5715b8335d82)
Кристалічні класи 4,
, 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{11}&c_{13}&0&0&-c_{16}\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc621c8fff47f51e2860aa5e4a7964c8f97c0dd0)
Кристалічні класи 422, 4mm,
2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6013f2451aae47806030ec4f7be8703a5f53a266)
Кристалічні класи
і 3 характеризуютья 7-а незалежними модулями пружності
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&-c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&c_{15}\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eb34926280bd6a77437a3535ccc03ebff0fa52)
Кристалічні класи 32б 3m та
m характеризуються 6-ма незалежними модулями
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0\\&c_{11}&c_{13}&-c_{14}&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5388dfb226d4c48c40623bce0fc0d974750aa698)
Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097dcaf4f683ef64a4377978a71d5c9612bcfb49)
Три незалежних модулі пружності
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&c_{44}\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438d4af620dfcbf9c1a2c1874caf0ce28dd47d19)
Два незалежних модулі пружності
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&(c_{11}-c_{12})/2&0&0\\&&&&(c_{11}-c_{12})/2&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6417e5f46d31267e3205bcfc2d5a33bded11d8)
- Кучин В.А., Ульянов В.Л. (1986). Упругие и неупругие свойства кристаллов. Москва: Энергоатомиздат.
- М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М. : Наука, 1969. — 352 с.
- В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря[ru]. — М. : "Мир", 1975. — 871 с.
- Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М. : "Наука", 1977. — 399 с.