Нотація Фогта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.

Позначення[ред. | ред. код]

Якщо тензор 4-ранга є симетричним за першою і другою парою індексів

,
,

то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:

.

Наприклад, компонента буде відповідати елементу матриці .

Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів. При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць. Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.

Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.

При цьому вводяться такі позначення:

для i = 1,2,3.

,
,
.

Матричний запис закону Гука[ред. | ред. код]

Докладніше: закон Гука

Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення

Матриця жорсткості симетрична

,

а тому здебільшого її зображають в трикутній формі

Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.

Матриця жорсткості для різних сингоній[ред. | ред. код]

Триклінна сингонія[ред. | ред. код]

Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.

Моноклінна сингонія[ред. | ред. код]

Тринадцять незалежних пружніх сталих

Ромбічна сингонія[ред. | ред. код]

9 незалежних елементів

Тетрагональна сингонія[ред. | ред. код]

Кристалічні класи 4, , 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:

Кристалічні класи 422, 4mm, 2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів

Тригональна сингонія[ред. | ред. код]

Кристалічні класи і 3 характеризуютья 7-а незалежними модулями пружності

Кристалічні класи 32б 3m та m характеризуються 6-ма незалежними модулями

Гексагональна сингонія[ред. | ред. код]

Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності


Кубічна сингонія[ред. | ред. код]

Три незалежних модулі пружності

Ізотропне середовище[ред. | ред. код]

Два незалежних модулі пружності

Джерела[ред. | ред. код]

  • Кучин В.А., Ульянов В.Л. (1986). Упругие и неупругие свойства кристаллов. Москва: Энергоатомиздат. 
  • М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М. : Наука, 1969. — 352 с.
  • В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М. : "Мир", 1975. — 871 с.
  • Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М. : "Наука", 1977. — 399 с.