Мимобіжні прямі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Мимобіжні прямі

Дві прямі в тривимірному евклідовому просторі називаються мимобіжними, якщо не існує площини, що їх містить.

Відстань між двома мимобіжними прямими[ред.ред. код]

Відстань між двома мимобіжними прямими

Відстанню між двома мимобіжними прямими називається довжина найкоротшого відрізка що їх з’єднує. Такий відрізок, буде також перпендикуляром до обох прямих.

Позначимо напрямні вектори мимобіжних прямих як \vec v і \vec w. Додатково виберемо три довільні точки А, В, О, так що A лежить на прямій g, B — на прямій h, а точка O не лежить на жодній з прямих і запишемо рівняння прямих в параметричній формі:

g: \vec x = \vec a + r \vec v
h: \vec x = \vec b + s \vec w \ \ \, r,s \in \R,

де \vec a,\,\vec b,\,\vec v,\,\vec w \in \R^3 .

Тоді напрям одиничної нормалі \vec n, до \vec v і \vec w, а отже і до обох прямих, можна обчислити за допомогою векторного добутку:

\vec n_0 = \frac{\vec v \times \vec w}{|\vec v \times \vec w|}.

Після чого відстань між прямими обчислюється як проекція вектора \overrightarrow{OA} на напрямок заданий одиничною нормаллю \vec n_0

d(g,h)=|(\vec a -\vec b)\cdot \vec n_0|.

Перевірка на мимобіжність[ред.ред. код]

Якщо кожна пряма визначена за допомогою двох точок через які вона проходить, тоді ці чотири точки мусять не бути копланарними, отже, вони мають бути вершинами чотиригранника з ненульовим об'ємом. І навпаки, будь-які дві двійки точок, що визначають чотиригранник не нульового об'єму також визначають двійку мимобіжних прямих. З цього випливає, що перевірити на мимобіжність можна через застосування формули для знаходження об'єму чотиригранника, яка використовує його вершини. Позначаючи одну точку як 1×3 вектор a три елементи якого є її координатами, і так само позначаючи інші три точки b, c і d, ми можемо перевірити чи є мимобіжними пряма, що проходять через a і b і пряма, що проходить через c і d порівнявши об'єм чотиригранника з нулем:

V=\frac{1}{6}\left|\det\left[\begin{matrix}\mathbf{a}-\mathbf{b} \\ \mathbf{b}-\mathbf{c} \\ \mathbf{c}-\mathbf{d} \end{matrix}\right]\right|.

Див. Також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Мимобіжні прямі(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.