Многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Поліном)
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік поліноміальної функції 3-го степеня

Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду

де є сталими коефіцієнтами (константами), а  — змінна.

Наприклад, та є многочленами, але та не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих степенів змінних та константи:

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Пов'язані терміни[ред. | ред. код]

В многочлені доданки називаються його членами. Якщо , то називається старшим членом, а його степінь степенем многочлена. Степінь многочлена позначається . Член нульового степеня називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен (інколи пишуть , щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, .

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.

Наприклад,  — кубічний тричлен з членами , і , причому  — це старший член, а  — вільний член.

Операції над многочленами[ред. | ред. код]

  • Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.
  • Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.
  • Многочлени можна ділити з остачею: якщо  — ненульовий многочлен, то будь-який многочлен можна представити у вигляді

де і  — многочлени, причому .

Корінь многочлена[ред. | ред. код]

Докладніше: Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної . Число називається коренем многочлена , якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо . Це рівносильно умові «Многочлен ділиться на двочлен без остачі» (див. теорему Безу). Якщо ділиться на без остачі, то корінь називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число , для якого ділиться на без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множники[ред. | ред. код]

Якщо неконстантний многочлен можна представити у вигляді , де і  — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що розкладено на нетривіальні множники , . Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

, і ,

то

і .

Якщо якийсь з множників , можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення у вигляді

де многочлени є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебри[ред. | ред. код]

Комплексний многочлен степеня має рівно комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на лінійних множників:

Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]